Нагадаємо основні характеристики орбіти руху Місяця щодо Землі.

Місяць рухається навколо Землі орбітою, близькою до кругової (середнє значення ексцентриситету становить 0,05). Тривалість одного обороту Місяця становить приблизно – 27,3 діб. Відстань її від Землі дорівнює в середньому 384 000 км. За рахунок наявної, хоч і незначної, еліптичності орбіти її найбільша відстань від Землі (в апогеї) досягає 405 500 км і найменша (у перигеї) 363 000 км. Швидкість руху Місяця орбітою становить приблизно 1,02 км/сек.Здійснюючи політ з такою швидкістю, Місяць описує по небесній сфері за кожну добу дугу близько 13 °. Площина орбіти Місяця щодо площини екватора Землі постійно змінюється в діапазоні від 18° до 28°. У 1970 р. спосіб площини орбіти становило близько 28°. Це означає, що протягом кожного місяця Місяць побуває над екватором на висоті 28° і під ним, опустившись на кут 28°.

Місяця можна досягти різними шляхами. На сьогодні реалізовані такі види польотів до Місяця:

Політ поблизу Місяця з наступним виходом космічного апарату за межі сфери дії Землі та перетворенням його на супутник Сонця - штучну планету ("Місяць-1", "Піонер-4");

Політ з "жорстким" попаданням у Місяць ("Луна-2", "Рейнджер-7");

Політ з м'якою посадкою на Місяць без виходу на проміжну орбіту її супутника ("Місяць-9", "Сервейор-1");

Політ із виходом на орбіту супутника Місяця без посадки та без повернення на Землю (безпілотні - "Місяць-10", "Лу-нар-Орбітар-1");

Політ із виходом на орбіту супутника Місяця без посадки на Місяць, але із поверненням Землю ("Аполон-8");

Обліт Місяця із поверненням на Землю ("Зонд-5");

Політ із виходом на орбіту супутника Місяця, посадка на Місяць та повернення на Землю ("Аполон-11", "Місяць-16").

Звідси добре видно загальну логічну цілеспрямованість освоєння Місяця та послідовне ускладнення схеми польоту. Кожен із зазначених видів польоту був самостійний інтерес і дозволив вирішити певне коло наукових та технічних завдань.

Тепер подивимося, якими є ті загальні принципи, які покладено в основу різних варіантів польоту до Місяця. Головним критерієм, який визначає спосіб розрахунку та вибору траєкторій польоту до Місяця, є точність розрахунку за мінімальної витрати енергії (тобто палива) на здійснення всіх маневрів та можливість забезпечення польоту засобами наземного або автономного комплексу. Відповідно до цього розрізняють наближені та точні способи розрахунку орбіт.

Наближені методи ґрунтуються на використанні еліптичної теорії руху космічних апаратів. Як відомо, Місяць перебуває у сфері дії Землі. Тому траєкторію польоту до Місяця, що цілком лежить усередині сфери дії Землі, можна приблизно розраховувати за еліптичною теорією, вважаючи, що космічний апарат здійснює спочатку політ тільки під дією тяжіння Землі. Притягненням Місяця, Сонця та нецентральністю поля Землі в цьому випадку нехтують. Отримана траєкторія простягається у бік Місяця до того часу, поки космічний апарат ввійде у сферу дії Місяця, т. е. не виявиться з відривом 66 тис. км від її центру. Починаючи з цього моменту траєкторія руху розраховується тільки з урахуванням тяжіння Місяця, а тяжіння Землі та Сонця нехтують. Якщо далі космічний апарат, віддаляючись від Місяця, знову опиниться на відстані 66 тис. км від нього, то знову вплив Місяця виключається і в подальшому вважається, що політ відбувається тільки в полі дії Землі.

Так балістики пристосували еліптичну теорію на вирішення завдання трьох тіл. Часто цей спосіб називають розподілом руху космічного апарату за сферами дії небесних тіл. Звісно, ​​він є наближеним і може бути лише якісного аналізу траєкторій польоту. Але через його алгоритмічну простоту він знаходить найширше застосування в масових дослідженнях польотів до Місяця. Коли ж справа стосується реальних пусків, то застосовуються методи чисельного розрахунку траєкторій, або якось виправлена ​​штучним чином теорія еліптичного руху.

Світлої пам'яті мого вчителя – першого декана фізико-математичного факультету Новочеркаського політехнічного інституту, завідувача кафедри «Теоретична механіка» Кабелькова Олександра Миколайовича

Вступ

Серпень, літо добігає кінця. Народ люто рвонув на моря, та воно й не дивно – самий сезон. А на Хабрі, тим часом, . Якщо говорити про тему даного випуску «Моделювання...», то в ньому ми сумісним приємне з корисним - продовжимо обіцяний цикл і зовсім трохи поборемося з цією лженаукою за допитливі уми сучасної молоді.

А питання дійсно не пусте - зі шкільних років ми звикли вважати, що наш найближчий супутник у космічному просторі - Місяць рухається навколо Землі з періодом 29,5 діб, особливо не вдаючись у супутні подробиці. Насправді ж наша сусідка своєрідний і певною мірою унікальний астрономічний об'єкт, з рухом якого навколо Землі не все так просто, як можливо хотілося б деяким моїм колегам з найближчого зарубіжжя.

Отже, залишивши полеміку осторонь, спробуємо з різних боків, у міру своєї компетенції, розглянути це, безумовно, красиве, цікаве і дуже показове завдання.

1. Закон всесвітнього тяжіння та які висновки ми можемо з нього зробити

Відкритий ще в другій половині 17 століття, сером Ісааком Ньютоном, закон всесвітнього тяжіння говорить про те, що Місяць притягується до Землі (і Земля до Місяця!) з силою, спрямованою вздовж прямої, що з'єднує центри небесних тіл, що розглядаються, і рівною за модулем

де m 1 , m 2 - маси, відповідно Місяця та Землі; G = 6,67 e-11 м 3 / (кг * з ​​2) - гравітаційна постійна; r 1,2 - відстань між центрами Місяця та Землі. Якщо брати до уваги тільки цю силу, то, вирішивши задачу про рух Місяця як супутника Землі і навчившись розраховувати положення Місяця на небі на фоні зірок, ми незабаром переконаємося шляхом прямих вимірювань екваторіальних координат Місяця, що в нашій консерваторії не все так гладко як хотілося б. І справа тут не в законі всесвітнього тяжіння (а на ранніх етапах розвитку небесної механіки такі думки висловлювалися досить часто), а в неврахованому обуренні руху Місяця з боку інших тіл. Яких? Дивимося на небо і наш погляд відразу впирається у здоровенну, масою аж 1,99 e30 кілограм плазмову кулю прямо у нас під носом - Сонце. Місяць притягується до Сонця? Ще як, з силою, що дорівнює модулю

де m 3 – маса Сонця; r 1,3 - відстань від Місяця до Сонця. Порівняємо цю силу з попередньою

Візьмемо положення тіл, в якому тяжіння Місяця до Сонця буде мінімальним: всі три тіла на одній прямій і Земля розташовується між Місяцем та Сонцем. У цьому випадку наша формула набуде вигляду:

де , м - Середня відстань від Землі до Місяця; , м – середня відстань від Землі до Сонця. Підставимо до цієї формули реальні параметри

Оце номер! Виходить Місяць притягується до Сонця силою, що більш ніж удвічі перевищує силу її тяжіння до Землі.

Подібне обурення вже не можна не враховувати і воно безперечно вплине на кінцеву траєкторію руху Місяця. Ходімо далі, зважаючи на припущення про те, що орбіта Землі кругова з радіусом a, знайдемо геометричне місце точок навколо Землі, де сила тяжіння будь-якого об'єкта до Землі дорівнює силі його тяжіння до Сонця. Це буде сфера з радіусом

зміщена вздовж прямої, що з'єднує Землю та Сонце у бік протилежну напрямку на Сонце на відстань

де – відношення маси Землі до маси Сонця. Підставивши чисельні значення параметрів отримаємо фактичні розміри даної області: R = 259 300 кілометрів, і l = 450 кілометрів. Ця сфера має назву сфери тяжіння Землі щодо Сонця.

Відома нам орбіта Місяця лежить поза цією галуззю. Тобто в будь-якій точці траєкторії Місяць відчуває з боку Сонця значно більше тяжіння, ніж Землі.

2. Супутник чи планета? Гравітаційна сфера дії

Ця інформація часто породжує суперечки про те, що Місяць не супутник Землі, а самостійна планета Сонячної системи, орбіта якої обурена тяжінням близької Землі.

Оцінимо обурення, що вноситься Сонцем у траєкторію Місяця щодо Землі, а також обурення, що вноситься Землею в траєкторію Місяця щодо Сонця, скориставшись критерієм, запропонованим П. Лапласом. Розглянемо три тіла: Сонце (S), Землю (E) та Місяць (M).
Приймемо припущення, що орбіти Землі щодо Сонця та Місяця щодо Землі є круговими.

Розглянемо рух Місяця у геоцентричній інерційній системі відліку. Абсолютне прискорення Місяця в геліоцентричній системі відліку визначається силами тяжіння, що діють на неї, і так само:

З іншого боку, відповідно до теорії Коріоліса, абсолютне прискорення Місяця

де - переносне прискорення, що дорівнює прискоренню Землі щодо Сонця; - прискорення Місяця щодо Землі. Прискорення Коріоліса тут не буде – обрана нами система координат рухається поступально. Звідси отримуємо прискорення Місяця щодо Землі

Частина цього прискорення, рівна зумовлена ​​тяжінням Місяця до Землі та характеризує її незворушений геоцентричний рух. Решта

прискорення Місяця, викликане обуренням із боку Сонця.

Якщо розглядати рух Місяця в геліоцентричній інерціальній системі відліку, то все набагато простіше, прискорення характеризує необурене геліоцентричне рух Місяця, а прискорення - обурення цього руху з боку Землі.

При існуючих в поточну епоху параметрах орбіт Землі та Місяця, у кожній точці траєкторії Місяця справедлива нерівність

що можна перевірити і безпосереднім обчисленням, але я пошлюся, щоб зайво не захаращувати статтю.

Що означає нерівність (1)? Та те, що у відносному вираженні ефект від обурення Місяця Сонцем (причому дуже суттєво) менший за ефект від тяжіння Місяця до Землі. І навпаки, обурення Землею геоліоцентричної траєкторії Місяця надає вирішальний вплив на характер її руху. Вплив земної гравітації у разі істотно, отже Місяць «належить» Землі по праву і його супутником.

Цікавим є інше - перетворивши нерівність (1) на рівняння можна знайти геометричне місце точок, де ефекти обурення Місяця (та й будь-якого іншого тіла) Землею та Сонцем однакові. На жаль це ж не так просто, як у випадку зі сферою тяжіння. Розрахунки показують, що ця поверхня описується рівнянням божевільного порядку, але близька до еліпсоїда обертання. Все що ми можемо зробити без зайвих проблем, це оцінити загальні габарити цієї поверхні щодо центру Землі. Вирішуючи чисельне рівняння

щодо відстані від центру Землі до шуканої поверхні на достатній кількості точок, одержуємо перетин поверхні площиною екліптики

Для наочності тут показано і геоцентричну орбіту Місяця і, знайдену нами вище сферу тяжіння Землі щодо Сонця. З малюнка видно, що сфера впливу, або сфера гравітаційної дії Землі щодо Сонця, є поверхня обертання щодо осі X, сплющена вздовж прямої, що з'єднує Землю і Сонце (вздовж осі затемнень). Орбіта Місяця знаходиться глибоко всередині цієї уявної поверхні.

Для практичних розрахунків цю поверхню зручно апроксимувати сферою з центром у центрі Землі та рівним радіусом

де m – маса меншого небесного тіла; M - маса більшого тіла, у полі тяжіння якого рухається менше тіло; a – відстань між центрами тел. У нашому випадку

Ось цей недороблений мільйон кілометрів і є та теоретична межа, за яку влада бабусі Землі не поширюється - її вплив на траєкторії астрономічних об'єктів настільки замало, що їх можна знехтувати. Отже, запустити Місяць круговою орбітою на відстані 38,4 млн. кілометрів від Землі (як роблять деякі лінгвісти) не вийде, це фізично неможливо.

Ця сфера для порівняння показана на малюнку синьою пунктирною лінією. При оцінних розрахунках прийнято вважати, що тіло, що усередині даної сфери відчуватиме тяжіння виключно із боку Землі. Якщо тіло знаходиться зовні даної сфери - вважаємо, що тіло рухається в полі тяжіння Сонця. У практичній космонавтиці відомий метод сполучення конічних перерізів, що дозволяє приблизно розрахувати траєкторію космічного апарату, використовуючи рішення задачі двох тіл. При цьому весь простір, який долає апарат, розбивається на подібні сфери впливу.

Наприклад, тепер зрозуміло, щоб мати теоретичну можливість зробити маневри для виходу на окололунную орбіту, космічний апарат повинен потрапити всередину сфери дії Місяця щодо Землі. Її радіус легко розрахувати за формулою (3) і дорівнює 66 тисяч кілометрів.

3. Завдання трьох тіл у класичній постановці

Отже, розглянемо модельне завдання у загальній постановці, відому в небесній механіці як завдання трьох тіл. Розглянемо три тіла довільної маси, розташованих довільним чином у просторі і що рухаються виключно під дією сил взаємного гравітаційного тяжіння

Тіла вважаємо матеріальними точками. Положення тіл відраховуватимемо у довільному базисі, з яким пов'язана інерційна система відліку Oxyz. Положення кожного з тіл визначається радіус-вектором відповідно , і . На кожне тіло діє сила гравітаційного тяжіння з боку двох інших тіл, причому відповідно до третьої аксіоми динаміки точки (3-й закон Ньютона)

Запишемо диференціальні рівняння руху кожної точки у векторній формі

Або з урахуванням (4)

Відповідно до закону всесвітнього тяжіння, сили взаємодії спрямовані вздовж векторів

Уздовж кожного з цих векторів випустимо відповідний орт.

тоді кожна з гравітаційних сил розраховується за формулою

З урахуванням цього система рівнянь руху набуває вигляду

Введемо позначення, прийняте у небесній механіці

- гравітаційний параметр центру, що притягує. Тоді рівняння руху набудуть остаточного векторного вигляду

4. Нормування рівнянь до безрозмірних змінних

Досить популярним прийомом при математичному моделюванні є приведення диференціальних рівнянь та інших співвідношень, що описують процес, до безрозмірних фазових координат та безрозмірного часу. Нормуються також інші параметри. Це дозволяє розглядати, хоч і із застосуванням чисельного моделювання, але у досить загальному вигляді цілий клас типових завдань. Питання, наскільки це виправдано у кожному вирішуваному завданню залишаю відкритим, але погоджуся, що у разі такий підхід цілком справедливий.

Отже, введемо абстрактне небесне тіло з гравітаційним параметром, таке, що період звернення супутника по еліптичній орбіті з великою піввіссю навколо нього дорівнює . Усі ці величини, з законів механіки, пов'язані співвідношенням

Введемо заміну параметрів. Для положення точок нашої системи

де – безрозмірний радіус-вектор i-ї точки;
для гравітаційних параметрів тіл

де – безрозмірний гравітаційний параметр i-ї точки;
для часу

де – безрозмірний час.

Тепер перерахуємо прискорення точок системи за допомогою цих безрозмірних параметрів. Застосуємо пряме дворазове диференціювання за часом. Для швидкостей

Для прискорень

При підстановці отриманих співвідношень у рівняння руху все елегантно схлопується в красиві рівняння:

Ця система рівнянь досі вважається не інтегрованою в аналітичних функціях. Чому вважається, а не є? Тому що успіхи теорії функції комплексного змінного призвели до того, що загальне розв'язання задачі трьох тіл таки з'явилося в 1912 році - Карлом Зундманом було знайдено алгоритм відшукання коефіцієнтів для нескінченних рядів щодо комплексного параметра, які теоретично є загальним розв'язанням задачі трьох тіл. Але ... для застосування рядів Зундмана в практичних розрахунках з необхідною для них точністю вимагає отримання такої кількості членів цих рядів, що це багато в чому перевершує можливості обчислювальних машин навіть на сьогоднішній день.

Тому чисельне інтегрування – єдиний спосіб аналізу рішення рівняння (5)

5. Розрахунок початкових умов: видобуваємо вихідні дані

, Перш ніж починати чисельне інтегрування, слід переймається розрахунком початкових умов для розв'язуваної задачі. У розглянутій задачі пошук початкових умов перетворюється на самостійне підзавдання, оскільки система (5) дає нам дев'ять скалярних рівнянь другого порядку, що з переході до нормальної формі Коші підвищує порядок системи ще 2 разу. Тобто нам необхідно розрахувати цілих 18 параметрів – початкові положення та компоненти початкової швидкості всіх точок системи. Де ми візьмемо дані про становище небесних тіл, які нас цікавлять? Ми живемо у світі, де людина ходила по Місяцю - природно людство має володіти інформацією, як цей самий Місяць рухається і де він знаходиться.

Тобто, скажете ви, ти, чуваку, пропонуєш нам взяти з полиць товсті астрономічні довідники, здути з них пилюку... Не вгадали! Я пропоную сходити за цими даними до тих, хто власне ходив Місяцем, до NASA, а саме до Лабораторії реактивного руху, Пасадена, штат Каліфорнія. Ось сюди - JPL Horizonts web interface.

Тут, витративши трохи часу на вивчення інтерфейсу, ми здобудемо всі необхідні нам дані. Виберемо дату, наприклад, та нам все одно, але нехай це буде 27 липня 2018 UT 20:21. Саме в цей момент спостерігалася повна фаза місячного затемнення. Програма видасть нам величезну онучу

Повний висновок для ефемерид Місяця на 27.07.2018 20:21 (початок координат у центрі Землі)

************************************************** ***************************** Revised: Jul 31, 2013 Moon / (Earth) 301 GEOPHYSICAL DATA (updated 2018-Aug-13 ): Vol. Mean Radius, km = 1737.53+-0.03 Mass, x10^22 kg = 7.349 Radius (gravity), km = 1738.0 Surface emissivity = 0.92 Radius (IAU), km = 1737.4 GM, km^3/s^2 = 40 g/cm^3 = 3.3437 GM 1-sigma, km^3/s^2 = +-0.0001 V(1,0) = +0.21 Surface accel., m/s^2 = 1.62 Earth/Moon mass ratio = 81.3005690769 Farside crust. thick. = ~80 - 90 km Свердлова кришталевість = 2.97+-.07 г/см^3 Поблизу crust. thick.= 58+-8 km Heat flow, Apollo 15 = 3.1+-.6 mW/m^2 k2 = 0.024059 Heat flow, Apollo 17 = 2.2+-.5 mW/m^2 Rot. Rate, rad/s = 0.0000026617 Geometric Albedo = 0.12 Mean angular diameter = 31"05.2" Orbit period = 27.321582 d Obliquity to orbit = 6.67 deg Eccentricity = 0.05490 Se4,04,5 /s = 2.6616995x10^-6 Nodal period = 6798.38 d Apsidal period = 3231.50 d Mom. of inertia C/MR^2= 0.393142 beta (CA/B), x10^-4 = 6.310213 gamma (BA/C), x10^-4 = 2.277317 7 1323+-7 1368+-7 Maximum Planetary IR (W/m^2) 1314 1226 1268 Minimum Planetary IR (W/m^2) 5.2 5.2 5.2 *************** ************************************************** ************** ************************************ ******************************************* Ephemeris / WWW_USER Wed Aug 15 20 :45:05 2018 Pasadena, USA / Horizons ********************************************* *************************************** Target body name: Moon (301) (source: DE431mx) Center body name: Earth (399) (source: DE431mx) Center-site name: BODY CENTER **************************** ************************************************** * Start time: AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB Stop time: A.D. 2018-Jul-28 20:21:00.0003 TDB Step-size: 0 steps ********************************* ********************************************** Center geodetic: 0.00000000 ,0.00000000,0.0000000 (E-lon(deg),Lat(deg),Alt(km)) Center cylindric: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 (E-lon(deg),Dxy(km) : 6378.1 x 6378.1 x 6356.8 km (Equator, meridian, pole) Output units: AU-D Output type: GEOMETRIC cartesian states Output format: 3 (position, velocity, LT, range, range-rate0) 0 Coordinate systm: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch ******************************************** **************************************** JDTDB XYZ VX VY VZ LT RG RR ** ************************************************** *************************** $$SOE 2458327. 347916670 = A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y = -2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX = 4.593816208618667E-04 VY = 3.187527302531735E-04 VZ = -5.183707711777675E-05 LT = 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE ***************************** ************************************************** Coordinate system description: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch Reference epoch: J2000.0 XY-plane: ланка з Earth's orbit at reference epoch ascending node of instantaneous plane of Earth"s orbit and Earth"s mean equator at the reference epoch Z-axis: perpendicular to xy-plane in directional (+ or -) sense of Earth's north pole at the reference epoch. Symbol meaning : JDTDB Julian Day Number, Barycentric Dynamical Time X X-component position vector (au) Y Y-component position vector (au) Z Z-component position vector (au) VX X-component velocity vector (au /Day) VY Y-Component Velocity Vector (Au/Day) VZ Z-Component Velocity Vector (Au/Day) LT 1-way down-leg Newtonian light-time (day) RG Range; distance from coordinate center (au) RR Range-rate; radial velocity wrt coord. center (au/day) Geometric states/elements не мають аберрацій applied. Computations by ... Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System 4800 Oak Grove Drive, Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA 91109 USA Information: http://ssd.jpl.nasa.gov/ Connect: telnet://ssd .jpl.nasa.gov:6775 (via browser) http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons telnet ssd.jpl.nasa.gov 6775 (via command-line) Автор: [email protected] *******************************************************************************

Бр-р-р, що це? Без паніки, для того, хто добре навчав у школі астрономію, механіку та математику, тут бояться нічого. Отже, найголовніше кінцеве шукані координати та компоненти швидкості Місяця.

$$ SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y = -2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX = 4.593816208618667E-04 VY = 3.187527302531735E-04 VZ = -5.183707711777675E-05 LT = 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE
Так-так-так, вони декартові! Якщо уважно прочитати всю онучу, ми дізнаємося, що початок цієї системи координат збігається з центром Землі. Площина XY лежить у площині земної орбіти (площини екліптики) на епоху J2000. Вісь X спрямована вздовж лінії перетину площини екватора Землі та екліптики в точку весняного рівнодення. Ось Z дивиться у бік північного полюса Землі перпендикулярно площині екліптики. Ну а вісь Y доповнює все це щастя до правої трійки векторів. За замовчуванням одиниці виміру координат: астрономічні одиниці (розумнички з NASA наводять і величину автрономічної одиниці в кілометрах). Одиниці виміру швидкості: астрономічні одиниці щодня, день приймається рівним 86400 секундам. Повний фарш!

Аналогічну інформацію ми можемо отримати і для Землі

Повний висновок ефемерид Землі на 27.07.2018 20:21 (початок координат у центрі мас Сонячної системи)

************************************************** ***************************** Revised: Jul 31, 2013 Earth 399 GEOPHYSICAL PROPERTIES (revised Aug 13, 2018): Vol. Mean Radius (km) = 6371.01 +-0.02 Mass x10 ^ 24 (kg) = 5.97219 +-0.0006 Equ. radius, km = 6378.137 Mass layers: Polar axis, km = 6356.752 Atmos = 5.1 x 10^18 kg Flattening = 1/298.257223563 oceans = 1.4 x 10^21 kg Density, g/cm^3. 22 кг J2 (IERS 2010) = 0.00108262545 mantle = 4.043 x 10^24 kg g_p, m/s^2 (polar) = 9.8321863685 outer core = 1.835 x 10^26 kg_0 inner core = 9.675 x 10^22 kg g_o, m/s^2 = 9.82022 Fluid core rad = 3480 km GM, km^3/s^2 = 398600.435436 Inner core rad = 1215 km GM 1-sigma, km s^2 = 0.0014 Escape velocity = 11.186 km/s Rot. Rate (rad/s) = 0.00007292115 Surface Area: Mean sidereal day, hr = 23.9344695944 land = 1.48 x 10^8 km Mean solar day 2000.0, s = 86400.002 sea 0. Moment of inertia = 0.3308 Love no., k2 = 0.299 Mean Temperature, K = 270 Atm. pressure = 1.0 bar Vis. mag. V(1,0) = -3.86 Volume, km^3 = 1.08321 x 10^12 Geometric Albedo = 0.367 Magnetic moment = 0.61 gauss Rp^3 Solar Constant (W/m^2) = 1367.6 (mean), 1414 (peri ), 1322 (aphelion) ORBIT CHARACTERISTICS: Обкладинки для орбіт, ваги = 23.4392911 Середній орбітний період = 1.0000174 і орбітальна швидкість, km/s = 29.79 Середній орбітний період = 365 м. = 234.9 ************************************************ ******************************* ******************* ************************************************** ********** Ephemeris / WWW_USER Wed Aug 15 21:16:21 2018 Pasadena, USA / Horizons *********************** ************************************************** ****** Target body name: Earth (399) (source: DE431mx) Center body name: Solar System Barycenter (0) (source: DE431mx) Center-site name: BODY CENTER ********* ************************************************** ******************** Start time: AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB Stop time: A .D. 2018-Jul-28 20:21:00.0003 TDB Step-size: 0 steps ********************************* ********************************************** Center geodetic: 0.00000000 ,0.00000000,0.0000000 (E-lon(deg),Lat(deg),Alt(km)) Center cylindric: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 (E-lon(deg),Dxy(km) : (undefined) Output units: AU-D Output type: GEOMETRIC cartesian states Output format: 3 (position, velocity, LT, range, range-rate) Reference frame: ICRF/J2000. 0 Coordinate systm: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch ******************************************** **************************************** JDTDB XYZ VX VY VZ LT RG RR ** ************************************************** *************************** $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y = -8.298818915224488E-01 Z = -5.366994499016168E-05 VX = 1.388633512282171E-02 VY = 9.678934168415631E-03 VZ = 3.429889230737491E-07 LT = 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE ***************************** ************************************************** Coordinate system description: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch Reference epoch: J2000.0 XY-plane: ланка з Earth's orbit at reference epoch ascending node of instantaneous plane of Earth"s orbit and Earth"s mean equator at the reference epoch Z-axis: perpendicular to xy-plane in directional (+ or -) sense of Earth's north pole at the reference epoch. Symbol meaning : JDTDB Julian Day Number, Barycentric Dynamical Time X X-component position vector (au) Y Y-component position vector (au) Z Z-component position vector (au) VX X-component velocity vector (au /Day) VY Y-Component Velocity Vector (Au/Day) VZ Z-Component Velocity Vector (Au/Day) LT 1-way down-leg Newtonian light-time (day) RG Range; distance from coordinate center (au) RR Range-rate; radial velocity wrt coord. center (au/day) Geometric states/elements не мають аберрацій applied. Computations by ... Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System 4800 Oak Grove Drive, Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA 91109 USA Information: http://ssd.jpl.nasa.gov/ Connect: telnet://ssd .jpl.nasa.gov:6775 (via browser) http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons telnet ssd.jpl.nasa.gov 6775 (via command-line) Автор: [email protected] *******************************************************************************

Тут як початок координат обраний баріцентр (центр мас) Сонячної системи. Дані, що цікавлять нас

$$ SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y = -8.298818915224488E-01 Z = -5.366994499016168E-05 VX = 1.388633512282171E-02 VY = 9.678934168415631E-03 VZ = 3.429889230737491E-07 LT = 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE
Для Місяця нам знадобляться координати та швидкість щодо барицентру Сонячної системи, ми можемо їх порахувати, а можемо попросить NASA дати нам такі дані

Повний висновок ефемерид Місяця на 27.07.2018 20:21 (початок координат у центрі мас Сонячної системи)

************************************************** ***************************** Revised: Jul 31, 2013 Moon / (Earth) 301 GEOPHYSICAL DATA (updated 2018-Aug-13 ): Vol. Mean Radius, km = 1737.53+-0.03 Mass, x10^22 kg = 7.349 Radius (gravity), km = 1738.0 Surface emissivity = 0.92 Radius (IAU), km = 1737.4 GM, km^3/s^2 = 40 g/cm^3 = 3.3437 GM 1-sigma, km^3/s^2 = +-0.0001 V(1,0) = +0.21 Surface accel., m/s^2 = 1.62 Earth/Moon mass ratio = 81.3005690769 Farside crust. thick. = ~80 - 90 km Свердлова кришталевість = 2.97+-.07 г/см^3 Поблизу crust. thick.= 58+-8 km Heat flow, Apollo 15 = 3.1+-.6 mW/m^2 k2 = 0.024059 Heat flow, Apollo 17 = 2.2+-.5 mW/m^2 Rot. Rate, rad/s = 0.0000026617 Geometric Albedo = 0.12 Mean angular diameter = 31"05.2" Orbit period = 27.321582 d Obliquity to orbit = 6.67 deg Eccentricity = 0.05490 Se4,04,5 /s = 2.6616995x10^-6 Nodal period = 6798.38 d Apsidal period = 3231.50 d Mom. of inertia C/MR^2= 0.393142 beta (CA/B), x10^-4 = 6.310213 gamma (BA/C), x10^-4 = 2.277317 7 1323+-7 1368+-7 Maximum Planetary IR (W/m^2) 1314 1226 1268 Minimum Planetary IR (W/m^2) 5.2 5.2 5.2 *************** ************************************************** ************** ************************************ ******************************************* Ephemeris / WWW_USER Wed Aug 15 21 :19:24 2018 Pasadena, USA / Horizons ********************************************* *************************************** Target body name: Moon (301) (source: DE431mx) Center body name: Solar System Barycenter (0) (source: DE431mx) Center-site name: BODY CENTER ************************** ************************************************** *** Start time: AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB Stop time: A.D. 2018-Jul-28 20:21:00.0003 TDB Step-size: 0 steps ********************************* ********************************************** Center geodetic: 0.00000000 ,0.00000000,0.0000000 (E-lon(deg),Lat(deg),Alt(km)) Center cylindric: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 (E-lon(deg),Dxy(km) : (undefined) Output units: AU-D Output type: GEOMETRIC cartesian states Output format: 3 (position, velocity, LT, range, range-rate) Reference frame: ICRF/J2000.0 Coordinate systm: Ecliptic and Mean Equin Epoch ************************************************* ****************************** JDTDB XYZ VX VY VZ LT RG RR ************ ************************************************** ***************** $$SOE 2458327. 347916670 = A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y = -8.321193799697072E-01 Z = -4.855790760378579E-05 VX = 1.434571674368357E-02 VY = 9.997686898668805E-03 VZ = -5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE **************************** ************************************************** * Coordinate system description: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch Reference epoch: J2000.0 XY-plane: ланка з Earth's orbit at reference epoch довжина кінчається дзвінок instantaneous плану earth's orbit and earth's mean equator at the reference epoch Z-axis: perpendicular to xy-plane in directional (+ or -) sense earth's north pole at the reference epoch. Symbol meaning : JDTDB Julian Day Number, Barycentric Dynamical Time X X-component position vector (au) Y Y-component position vector (au) Z Z-component position vector (au) VX X-component velocity vector (au /Day) VY Y-Component Velocity Vector (Au/Day) VZ Z-Component Velocity Vector (Au/Day) LT 1-way down-leg Newtonian light-time (day) RG Range; distance from coordinate center (au) RR Range-rate; radial velocity wrt coord. center (au/day) Geometric states/elements не мають аберрацій applied. Computations by ... Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System 4800 Oak Grove Drive, Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA 91109 USA Information: http://ssd.jpl.nasa.gov/ Connect: telnet://ssd .jpl.nasa.gov:6775 (via browser) http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons telnet ssd.jpl.nasa.gov 6775 (via command-line) Автор: [email protected] *******************************************************************************

$$ SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y = -8.321193799697072E-01 Z = -4.855790760378579E-05 VX = 1.434571674368357E-02 VY = 9.997686898668805E-03 VZ = -5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE
Чудово! Тепер необхідно трохи обробити отримані дані напилком.

6. 38 папуг та одне папугайське крильце

Спочатку визначимося з масштабом, адже наші рівняння руху (5) записані в безрозмірній формі. Дані, надані NASA, самі підказують нам, що за масштаб координат варто взяти одну астрономічну одиницю. Відповідно як еталонне тіло, до якого ми будемо нормувати маси інших тіл, ми візьмемо Сонце, а як масштаб часу - період звернення Землі навколо Сонця.

Все це, звичайно, дуже добре, але ми не задали початкові умови для Сонця. «Навіщо?» - запитав би мене якийсь лінгвіст. А я б відповів, що Сонце аж ніяк не нерухоме, а також обертається своєю орбітою навколо центру мас Сонячної системи. У цьому можна переконатись, поглянувши на дані NASA для Сонця

$$ SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X = 6.520050993518213E + 04 Y = 1.049687363172734E + 06 Z = -1.304404963058507E + 04 VX = -1.265326939350981E-02 VY = 5.853475278436883E-03 VZ = 3.136673455633667E-04 LT = 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE
Поглянувши на параметр RG, ми побачимо, що Сонце обертається навколо барицентру Сонячної системи, і на 27.07.2018 центр зірки знаходиться від нього на відстані в мільйон кілометрів. Радіус Сонця, для довідки – 696 тисяч кілометрів. Тобто баріцентр Сонячної системи лежить за півмільйона кілометрів від поверхні світила. Чому? Та тому що всі інші тіла, що взаємодіють із Сонцем, так само повідомляють йому прискорення, головним чином, звичайно важкий Юпітер. Відповідно Сонце теж має свою орбіту.

Ми звичайно можемо вибрати ці дані як початкові умови, але ні - ми ж вирішуємо модельне завдання трьох тіл, і Юпітер та інші персонажі до неї не входять. Отже на шкоду реалізму, знаючи становище та швидкості Землі і Місяця ми перерахуємо початкові умови для Сонця, те щоб центр мас системи Сонце - Земля - ​​Місяць перебував на початку координат. Для центру мас нашої механічної системи справедливе рівняння

Помістимо центр мас на початок координат, тобто поставимо , тоді

звідки

Перейдемо до безрозмірних координат та параметрів, вибравши

Диференціюючи (6) за часом і переходячи до безрозмірного часу, отримуємо і співвідношення для швидкостей.

де

Тепер напишемо програму, яка сформує початкові умови у вибраних нами «папугах». На чому писатимемо? Звісно ж на Пітоні! Адже, як відомо, це найкраща мова для математичного моделювання.

Однак, якщо уникнути сарказму, то ми дійсно спробуємо для цієї мети пітон, а чому ні? Я обов'язково наведу посилання на весь код у моєму профілі Github.

Розрахунок початкових умов для системи Місяць - Земля - ​​Сонце

# # Вихідні дані задачі # # Гравітаційна постійна G = 6.67e-11 # Маси тіл (Місяць, Земля, Сонце) m = # Розраховуємо гравітаційні параметри тіл mu = print("Гравітаційні параметри тіл") for i, mass in enumerate(m ): mu.append(G * mass) print("mu[" + str(i) + "] = " + str(mu[i])) # Нормуємо гравітаційні параметри до Сонця kappa = print("Нормовані гравітаційні параметри" ) for i, gp in enumerate(mu): kappa.append(gp / mu) print("xi[" + str(i) + "] = " + str(kappa[i])) print("\n" ) # Астрономічна одиниця a = 1.495978707e11 import math # Масштаб безрозмірного часу, c T = 2 * math.pi * a * math.sqrt(a / mu) print("Масштаб часу T = " + str(T) + "\ n") # Координати NASA для Місяця xL = 5.771034756256845E-01 yL = -8.321193799697072E-01 zL = -4.855790760378579E-05 import numpy a. : " + str(xi_10)) # Координати NASA для Землі xE = 5.755663665315949E-01 yE = -8.298818915224488E-01 zE = -5.366994499016168E-00 = np.array() print("Початкове положення Землі, а. е.: " + str(xi_20)) # Розраховуємо початкове положення Сонця, вважаючи що початок координат - в центрі мас всієї системи xi_30 = - kappa * xi_10 - kappa * xi_20 print("Початкове положення Сонця, а. е.: " + str(xi_30)) # Вводимо константи для обчислення безрозмірних швидкостей Td = 86400.0 u = math.sqrt(mu / a) / 2 / math.pi print("\ n") # Початкова швидкість Місяця vxL = 1.434571674368357E-02 vyL = 9.997686898668805E-03 vzL = -5.149408819470315E-05 vL0 = np.array = np.array vL0[i] = v * a / Td uL0[i] = vL0[i] / u print("Початкова швидкість Місяця, м/с: " + str(vL0)) print(" -//- безрозмірна: " + str(uL0)) # Початкова швидкість Землі vxE = 1.388633512282171E-02 vyE = 9.678934168415631E-03 vzE = 3.429889230737491E-07 vE0 = n. : vE0[i] = v * a / Td uE0[i] = vE0[i] / u print("Початкова швидкість Землі, м/с: " + str(vE0)) print(" -//- безрозмірна: " + str(uE0)) # Початкова швидкість Сонця vS0 = - kappa * vL0 - kappa * vE0 uS0 = - kappa * uL0 - kappa * uE0 print("Початкова швидкість Сонця, м/с: " + str(vS0)) print(" -//- безрозмірна : " + str(uS0))

Вихлоп програми

Гравітаційні параметри тел mu = 4901783000000.0 mu = 386326400000000.0 mu = 1.326663e + 20 Нормовані гравітаційні параметри xi = 3.6948215183509304e-08 xi = 2.912016088486677e-06 xi = 1.0 Масштаб часу T = 31563683.35432583 Початкове положення Місяця, а.е .: [5.77103476e -01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05] Початковий стан Землі, а.е.: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05] Початковий стан. e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10] Початкова швидкість Місяця, м/с: -//- безрозмірна: [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184] Початкова швидкість: м/с: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] -//- безрозмірна: [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.3018

7. Інтегрування рівнянь руху та аналіз результатів

Власне саме інтегрування зводиться до більш-менш стандартної для SciPy процедури підготовки системи рівнянь: перетворення системи ОДУ до форми Коші та виклику відповідних функцій-вирішувачів. Для перетворення системи до форми Коші згадуємо, що

Тоді ввівши вектор стану системи

зводимо (7) і (5) до одного векторного рівняння

Для інтегрування (8) з наявними початковими умовами напишемо небагато, зовсім небагато коду

Інтегрування рівнянь руху у задачі трьох тіл

# # Обчислення векторів узагальнених прискорень # def calcAccels(xi): k = 4 * math.pi ** 2 xi12 = xi - xi xi13 = xi - xi xi23 = xi - xi s12 = math.sqrt(np.dot(xi12, xi12)) s13 = math.sqrt(np.dot(xi13, xi13)) s23 = math.sqrt(np.dot(xi23, xi23)) a1 = (k * kappa / s12 ** 3) * xi12 + (k * kappa / s13 ** 3) * xi13 a2 = - (k * kappa / s12 ** 3) * xi12 + (k * kappa / s23 ** 3) * xi23 a3 = -(k * kappa / s13 ** 3) ) * xi13 - (k * kappa / s23 ** 3) * xi23 return # # Система рівнянь у нормальній формі Коші # def f(t, y): n = 9 dydt = np.zeros((2 * n)) for i in range(0, n): dydt[i] = y xi1 = np.array(y) xi2 = np.array(y) xi3 = np.array(y) accels = calcAccels() i = n for accel in accels: for a in accel: dydt[i] = ai = i + 1 return dydt # Початкові умови завдання Коші y0 = # # Інтегруємо рівняння руху # # Початковий час t_begin = 0 # Кінцевий час t_end = 30.7 * Td / T; # Цікаве нас число точок траєкторії N_plots = 1000 # Крок часу між крапками step = (t_end - t_begin) / N_plots import scipy.integrate as spi solver = spi.ode(f) solver.set_integrator("vode", nsteps=50000 ="bdf", max_step=1e-6, rtol=1e-12) solver.set_initial_value(y0, t_begin) ts = ys = i = 0 while solver.successful() and solver.t<= t_end: solver.integrate(solver.t + step) ts.append(solver.t) ys.append(solver.y) print(ts[i], ys[i]) i = i + 1

Подивимося, що в нас вийшло. Вийшла просторова траєкторія Місяця на перші 29 діб від обраної нами початкової точки

а також її проекція в площину екліптики.

«Гей, дядьку, що ти нам впарюєш?! Це ж коло!».

По-перше, таки не коло - помітно зміщення проекції траєкторії від початку координат праворуч і донизу. По-друге – нічого не помічаєте? Не, правда?

Обіцяю підготувати обґрунтування того (на основі аналізу похибок рахунку та даних NASA), що отримане усунення траєкторії не є наслідком помилок інтегрування. Поки пропоную читачеві повірити мені на слово - це усунення є наслідком сонячного обурення місячної траєкторії. Крутаємо ще один оборот

ВО як! Причому зверніть увагу, що з початкових даних завдання Сонце перебуває саме у тому боці, куди зміщується траєкторія Місяця кожному обороті. Та це нахабне Сонце краде наш улюблений супутник! Ох це вже Сонце!

Можна зробити висновок, що сонячна гравітація впливає на орбіту Місяця досить суттєво - старенька не ходить по небу двічі одним і тим же шляхом. Картинка за півроку руху дозволяє (принаймні якісно) переконається в цьому (картинка клікабельна)

Цікаво? Ще б. Астрономія взагалі наука цікава.

Постскриптум

У вузі, де я навчався і працював майже сім років - Новочеркаському політеху - щорічно проводилася зональна олімпіада студентів з теоретичної механіки вузів Північного Кавказу. Тричі ми брали і Всеросійську олімпіаду. На відкритті наш головний «олімпієць», професор Кондратенко О.І., завжди говорив: «Академік Крилов називав механіку поезією точних наук».

Я люблю механіку. Все те добре, чого я досяг у своєму житті і кар'єрі сталося завдяки цій науці та моїм чудовим вчителям. Я поважаю механіку.

Тому я ніколи не дозволю знущатися з цієї науки і нахабно експлуатувати її в своїх цілях нікому, будь він хоч тричі доктор наук і чотиричі лінгвіст, і розробив хоч мільйон навчальних програм. Я щиро вважаю, що написання статей на популярному публічному ресурсі має передбачати їхню ретельну вичитку, нормальне оформлення (формули LaTeX - це не дурість розробників ресурсу!) і відсутність помилок, що призводять до результатів, що порушують закони природи. Остання взагалі «маст хев».

Я часто говорю своїм студентам: "комп'ютер звільняє ваші руки, але це не означає, що при цьому потрібно відключати і мозок".

Цінувати та поважати механіку я закликаю і вас, мої шановні читачі. Охоче ​​відповім на будь-які питання, а вихідний текст прикладу вирішення задачі трьох тіл мовою Python, як і обіцяв, викладаю у своєму профілі Github.

Дякую за увагу!

студента

Назва

Якщо вектор швидкості тіла заданий наведеною на малюнку формулою, де А і В деякі постійні, i і j - орти координатних осей, то траєкторія тіла...

Пряма лінія.

М'яч кинули у стіну зі швидкістю, горизонтальна та вертикальна складові якої дорівнюють 6 м/с та 8 м/с відповідно. Відстань від стіни до точки кидання L = 4 м. У якій точці траєкторії перебуватиме м'яч під час удару об стінку?

студента

Назва

студента

Назва

На підйомі.

За якого руху матеріальної точки нормальне прискорення негативне?

Такий рух неможливий.

студента

Назва

Матеріальна точка обертається коло навколо нерухомої осі. Для якої залежності кутової швидкості від часу w(t) при обчисленні кута повороту застосовна формула Ф = wt.

Колесо машини має радіус R і обертається із кутовою швидкістю w. Скільки часу t

потрібно машині для того, щоб без прослизання проїхати відстань L? Вкажіть номер правильної формули. Відповідь:2

Назва кадру

Як зміняться величина та напрямок векторного твору двох неколлінеарних векторів зі збільшенням кожного з співмножників у два рази та зміною їх напрямків на протилежні?

	Відповідь студента		Модуль збільшиться вчетверо, напрямок
			не зміниться.
	Час відповіді		14.10.2011 15:30:20
	Оцінка системи
	Назва кадру

Проекція прискорення матеріальної точки змінюється відповідно до зображеного графіка. Початкова швидкість дорівнює нулю. У які моменти часу швидкість матеріальної точки змінює напрямок?

Відповідь студента

Назва

студента

Назва

Як може бути направлений вектор прискорення тіла, що рухається зображеною траєкторією, при проходженні точки P?

Під будь-яким кутом у бік увігнутості.

Кут повороту маховика змінюється за законом Ф(t) = А t t, де А = 0,5 рад/с3, t - час в секундах. До якої кутової швидкості (у рад/с) розжене маховик за першу секунду з початку руху? Відповідь: 1.5

Назва frame205

Назва

студента

Тверде тіло обертається з кутовою швидкістю w навколо нерухомої осі. Вкажіть правильну формулу для обчислення лінійної швидкості точки тіла, яка знаходиться на відстані r від осі обертання. Відповідь: 2

Місяць звертається навколо Землі по круговій орбіті так, що її сторона постійно звернена до Землі. Якою є траєкторія руху центру Землі щодо космонавта, що знаходиться на Місяці?

Відрізок прямий.

Окружність.

Відповідь залежить від місцезнаходження космонавта на Місяці.

04.10.2011 14:06:11

Назва frame287

За наведеним графіком швидкості людини, що рухається, визначте скільки метрів він пройшов між двома зупинками. Відповідь: 30

Назва frame288

Тіло кинуто під кутом до горизонту. Опір повітря можна знехтувати. У якій із точок траєкторії швидкість змінюється за величиною з максимальною швидкістю. Вкажіть усі правильні відповіді.

Відповідь A студента E

Назва frame289

студента

Назва

Маховик обертається, як показано на малюнку. Вектор кутового прискорення направлений перпендикулярно площині малюнка до нас і постійний за величиною. Як спрямований вектор кутової швидкості w та який характер обертання маховика?

Вектор w спрямований від нас, маховик гальмується.

Матеріальна точка рухається по колу, причому її кутова швидкість w залежить від часу t так, як показано на малюнку. Як при цьому змінюються її нормальне An та

студента

Назва

тангенціальна Ат прискорення?

An збільшується, Aт не змінюється.

Прискорення тіла має постійну величину А = 0,2 м/с2 і направлено вздовж осі Х. Початкова швидкість дорівнює за величиною V0 = 1 м/с і направлена ​​по осі Y. Знайдіть тангенс кута між вектором швидкості тіла та віссю Y в момент часу t = 10 с. Відповідь: 2

Назва frame257

студента

Назва

За наведеним графіком проекції швидкості визначте проекцію переміщення Sх за весь час руху.

Крапка рівномірно рухається по траєкторії, зображеній малюнку. У якій точці (яких точках) тангенційне прискорення дорівнює 0?

		На всій траєкторії.
	студента
	Назва

Тіло повертається навколо нерухомої осі, що проходить через точку Про перпендикулярно площині малюнка. Кут повороту залежить від часу: Ф(t) = Ф0 sin(Аt), де А = 1рад/c, Ф0 – позитивна постійна. Як поводиться кутова швидкість точки А в момент часу t = 1 с?

Відповідь студента Убуває.

Назва frame260

Диск радіусом R розкручується із постійним кутовим прискоренням ε. Вкажіть формулу розрахунку тангенціального прискорення точки А на обід диска при кутовій швидкості w. Відповідь:5

Назва frame225

Колесо котиться дорогою без прослизання зі зростаючою швидкістю. Виберіть правильну формулу для обчислення кутового прискорення колеса, якщо швидкість центру колеса збільшується пропорційно до часу. Відповідь:4

	Назва кадру
		Якщо координати тіла змінюються з часом t
		рівнянням x = A t , y = B t t , де А і В - постійні, то
		траєкторія тіла...
	Відповідь студента	Парабола.
Назва

Оригінал взято у ss69100 у Місячні аномалії чи фальшива фізика?

І навіть у здавалося б давно усталених теоріях є кричущі протиріччя і очевидні помилки, які просто замовчуються. Наведу найпростіший приклад.

Офіційна фізика, яку викладають у навчальних закладах, дуже пишається тим, що їй відомі співвідношення між різними фізичними величинами як формули, які нібито надійно підкріплені експериментально. На тому, як то кажуть, і стоїмо…

Зокрема, у всіх довідниках та підручниках стверджується, що між двома тілами, які мають маси ( m) та ( M), виникає сила тяжіння ( F), яка прямо пропорційна добутку цих мас і обернено пропорційна квадрату відстані ( R) між ними. Це співвідношення зазвичай подають у вигляді формули «закону всесвітнього тяжіння»:

де - гравітаційна стала, рівна приблизно 6,6725×10 −11 м³/(кг·с²).

Давайте за допомогою цієї формули підрахуємо, яка сила тяжіння між Землею та Місяцем, а також між Місяцем та Сонцем. Для цього нам потрібно підставити до цієї формули відповідні значення з довідників:

Маса Місяця - 7,3477×10 22 кг

Маса Сонця - 1,9891×10 30 кг

Маса Землі - 5,9737×10 24 кг

Відстань між Землею та Місяцем = 380 000 000 м

Відстань між Місяцем та Сонцем = 149 000 000 000 м

Сила тяжіння між Землею та Місяцем = 6,6725×10 -11 х 7,3477×10 22 х 5,9737×10 24 / 380000000 2 = 2,028×10 20 H

Сила тяжіння між Місяцем і Сонцем = 6,6725×10 -11 х 7,3477·10 22 х 1,9891·10 30 / 149000000000 2 = 4,39×10 20 H

Виходить, що сила тяжіння Місяця до Сонця більш ніж вдвічі більшечим сила тяжіння Місяця до Землі! Чому ж тоді Місяць літає навколо Землі, а не навколо Сонця? Де ж тут згода теорії з експериментальними даними?

Якщо не вірите своїм очам, будь ласка, візьміть калькулятор, відкрийте довідники та переконайтесь самі.

Згідно з формулою «всесвітнього тяжіння» для даної системи з трьох тіл, як тільки Місяць виявиться між Землею і Сонцем, він повинен піти з кругової орбіти навколо Землі, перетворившись на самостійну планету з параметрами орбіти, близькими до земної. Проте, Місяць завзято «не помічає» Сонце, ніби його взагалі немає.

Насамперед, давайте поставимо питання про те, що може бути неправильним у цій формулі? Варіантів тут небагато.

З погляду математики, ця формула може бути правильною, але тоді неправильними є значення її параметрів.

Наприклад, сучасна наука може жорстоко помилятися у визначенні відстаней у космосі на основі хибних уявлень про природу та швидкість поширення світла; або ж неправильно оцінювати маси небесних тіл, користуючись тими самими чисто умоглядними висновкамиКеплера або Лапласа, вираженими у вигляді співвідношення розмірів орбіт, швидкостей та мас небесних тіл; або взагалі не розуміти природу маси макроскопічного тіла, про що гранично відверто оповідають усі підручники фізики, постулюючи дану властивість матеріальних об'єктів, незалежно від його розташування і не заглиблюючись в причини його виникнення.

Також офіційна наука може помилятися через існування та принципи дії сили тяжіння, що є найбільш ймовірним. Наприклад, якщо маси не мають притягуючої дії (чому, до речі, є тисячі наочних доказів, тільки вони замовчуються), тоді ця «формула всесвітнього тяжіння» просто відображає якусь ідею, висловлену Ісааком Ньютоном, яка на перевірку виявилася хибний.

Помилитись можна тисячами різних способів, а ось істина – одна. І її офіційна фізика свідомо приховує, інакше як пояснити відстоювання такої абсурдної формули?

Першимі очевидним наслідком того, що «формула всесвітнього тяжіння» не працює, є той факт, що у Землі відсутня динамічна реакція на Місяць. Простіше кажучи, два таких великих і близьких небесних тіла, одне з яких діаметром всього вчетверо менше від іншого, мали б (згідно з поглядами сучасної фізики) обертатися навколо загального центру мас - т.зв. барицентру. Однак, Земля обертається строго навколо своєї осі, і навіть припливи і відливи в морях і океанах не мають до положення Місяця на небі абсолютно ніякого відношення.

З Місяцем пов'язана ціла низка абсолютно кричучих фактів невідповідностей з усталеними поглядами класичної фізики, які в літературі та Інтернеті сором'язливоназиваються «місячними аномаліями».

Найочевидніша аномалія - ​​найточніший збіг періоду звернення Місяця навколо Землі та навколо своєї осі, через що вона завжди звернена до Землі однією стороною. Існує безліч причин, щоб ці періоди дедалі більше розсинхронізувалися на кожному витку Місяця навколо Землі.

Наприклад, ніхто не стверджуватиме, що Земля і Місяць є двома ідеальними кулями з рівномірним розподілом маси всередині. З погляду офіційної фізики цілком очевидно, що на рух Місяця істотний вплив мають не тільки взаємне розташування Землі, Місяця і Сонця, а й навіть прольоти Марса і Венери в періоди максимального зближення їх орбіт із земною. Досвід космічних польотів на навколоземній орбіті показує, що досягти стабілізації типу місячної можна тільки в тому випадку, якщо постійно підрулюватимікродвигунів орієнтації. Але чим і як підрулює Місяць? І головне – для чого?

Ця «аномалія» виглядає ще більш бентежно на тлі того маловідомого факту, що офіційна наука досі не виробила прийнятного пояснення траєкторії, через яку Місяць рухається навколо Землі. Орбіта Місяцяаж ніяк не кругова і навіть не еліптична. Дивна крива, яку Місяць описує над нашими головами, узгоджується лише з довгим списком статистичних параметрів, викладених у відповідних таблицях.

Ці дані зібрані з урахуванням багаторічних спостережень, але зовсім на основі будь-яких розрахунків . Саме завдяки цим даним можна передбачити ті чи інші події з великою точністю, наприклад, сонячні або місячні затемнення, максимальне наближення або видалення Місяця щодо Землі тощо.

Так ось, саме на цій дивній траєкторіїМісяць примудряється весь час бути розгорнутим до Землі лише однією стороною!

Звичайно, це далеко не все.

Виявляється, Землярухається по орбіті навколо Сонця аж ніяк не з рівномірною швидкістю, як хотілося б офіційній фізиці, а робить невеликі пригальмовування та ривки вперед у напрямку свого руху, які синхронізовані з відповідним становищем Місяця. Однак, ніяких рухів у сторони, перпендикулярні напряму своєї орбіти, Земля не робить, незважаючи на те, що Місяць може знаходитися з будь-якого боку від Землі в площині своєї орбіти.

Офіційна фізика не тільки не береться описати чи пояснити ці процеси – вона про них просто замовчує! Такий півмісячний цикл ривків земної кулі чудово корелює зі статистичними піками землетрусів, але де і коли ви про це чули?

А чи знаєте ви, що в системі космічних тіл Земля-Місяць не існує жодних точок лібрації, передбачених Лагранжем на основі закону «всесвітнього тяжіння»?

Справа в тому, що область тяжіння Місяця не перевищує відстані 10 000 км від поверхні. Цьому факту є безліч очевидних доказів. Досить згадати про геостаціонарні супутники, на які положення Місяця не впливає ніяк, або науково-сатиричну історію із зондом «Смарт-1» від ЕКА, за допомогою якого збиралися поміж справою сфотографувати місця лунання «Аполлонів» ще у 2003-2005 роках.

Зонд "Смарт-1"був створений як експериментальний космічний апарат із двигунами на малій іонній тязі, але з величезним часом роботи. Місією ЕКАпередбачався поступовий розгін апарату, виведеного на кругову орбіту навколо Землі для того, щоб, рухаючись спіралеподібною траєкторією з набором висоти, досягти внутрішньої точки лібрації системи Земля-Луна. Відповідно до передбачень офіційної фізики, починаючи з цього моменту, зонд повинен був змінити свою траєкторію, перейшовши на високу орбіту навколо місяця, і почати тривалий маневр гальмування, поступово звужуючи спіраль навколо Місяця.

Але все було б добре, якби офіційна фізика та розрахунки, зроблені за її допомогою, відповідали реальності. В дійсностіПісля досягнення точки лібрації, «Смарт-1» продовжував політ по спіралі, що розкручується, і на наступних витках навіть не думав реагувати на Місяць, що наближається.

З цього моменту навколо польоту «Смарта-1» почався дивовижний змова мовчанняі відвертої дезінформації, поки траєкторія його польоту не дозволила, нарешті, просто розбити його об поверхню Місяця, про що офіційні науково-популяризаторські Інтернет-ресурси поспішили повідомити під відповідним інформаційним соусом як про велике досягнення сучасної науки, яка раптом вирішила «змінити» і з усього маху хруснути десятками мільйонів витрачених на проект валютних грошей про місячний пил.

Природно, на останньому витку свого польоту зонд «Смарт-1» увійшов нарешті в область тяжіння Місяця, проте він ніяк не зміг би скинути швидкість для виходу на низьку орбіту навколо місяця за допомогою свого малопотужного двигуна. Розрахунки європейських балістиків увійшли до разючого протиріччяіз реальною дійсністю.

І такі випадки при дослідженнях далекого космосу аж ніяк не поодинокі, а повторюються із завидною постійністю, починаючи від перших проб попадання в Місяць або відправки зондів до супутників Марса, закінчуючи останніми спробами вийти на орбіти навколо астероїдів або комет, сила тяжіння яких їхня поверхня.

Але тоді у читача має виникнути зовсім закономірне питання:як же ракетно-космічна галузь СРСР у 60-х та 70-х роках ХХ століття примудрилася дослідити Місяць за допомогою автоматичних апаратів, перебуваючи в полоні хибних наукових поглядів? Як радянські балістики розрахували правильну трасу польоту до Місяця і назад, якщо одна з базових формул сучасної фізики виявляється фікцією? Зрештою, як у ХХI столітті розраховують орбіти місячних супутників-автоматів, які роблять близьке фотографування та сканування Місяця?

Дуже просто!Як і в інших випадках, коли практика показує розбіжність з фізичними теоріями, у справу вступає його величність Досвідякий підказує правильне вирішення тієї чи іншої проблеми. Після низки цілком закономірних невдач, емпіричним чиномбалістики знайшли деякі поправочні коефіцієнтидля тих чи інших етапів польотів до Місяця та інших космічних тіл, що вводять у бортові комп'ютери сучасних автоматичних зондів та систем космічної навігації.

І все працює!Але головне, з'являється можливість протрубити на весь світ про чергову перемогу світової науки, і далі вивчати легковірних дітей і студентів формулі «всесвітнього тяжіння», яка до реальної дійсності має не більше, ніж трикутка барона Мюнхгаузена до його епічних подвигів.

І якщо раптом якийсь винахідник виступить з черговою ідеєю нового способу пересування в космосі, немає нічого простішого, ніж оголосити його шарлатаном на тій простій підставі, що його розрахунки суперечать тій самій горезвісній формулі «всесвітнього тяжіння»... Комісії з боротьби з лженаукою при академіях наук різних країн працюють, не покладаючи рук.

Це в'язниця, товариші. Велика планетарна в'язниця з легким нальотом наукоподібності для нейтралізації особливо завзятих особин, які посміли бути розумними. Решту достатньо одружити, щоб, слідуючи влучному зауваженню Карела Чапека, у них автобіографія закінчилася.

До речі, всі параметри траєкторій та орбіт «пілотованих польотів» від НАСА до Місяця в 1969-1972 роках розраховані та опубліковані саме на підставі припущень про існування точок лібрації та виконання закону всесвітнього тяжіння для системи Земля-Луна. Хіба тільки це не пояснює, чому всі програми пілотованого підкорення Місяця після 70-х років ХХ століття були згорнуті? Що легше: тихо з'їхати з теми чи зізнаватись у фальсифікації всієї фізики?

Нарешті, Місяць має цілу низку дивовижних феноменів, званих «оптичними аномаліями». Ці аномалії вже настільки не лізуть у жодні ворота офіційної фізики, що про них воліють повністю замовчувати, замінюючи інтерес до них на нібито постійно реєстровану активність НЛО на поверхні Місяця.

За допомогою вигадок жовтої преси, підроблених фото- та відеоматеріалів про інопланетян, що нібито постійно переміщаються над Місяцем літаючих тарілок і величезних спорудах на її поверхні, закулісні господарі намагаються покривати інформаційним шумом справді фантастичну реальність Місяця, Про яку обов'язково слід згадати в цій роботі.

Найочевидніша і найнаочніша оптична аномалія Місяцявидно всім землянам неозброєним поглядом, тому залишається тільки дивуватися з того, що практично ніхто на це не звертає уваги. Подивіться, як виглядає Місяць у чистому нічному небі у моменти повного місяця? Вона виглядає, як плоскекругле тіло (наприклад, монета), але не як куля!

Кулясте тіло з досить суттєвими нерівностями на своїй поверхні, у разі його освітлення джерелом світла, що знаходиться ззаду від спостерігача, має найбільшою мірою відсвічувати ближче до свого центру, а в міру наближення до краю кулі, світність повинна плавно зменшуватися.

Про це кричить напевно найвідоміший закон оптики, який звучить так: «Кут падіння променя дорівнює куту його відображення». Але на Місяць це правило не поширюється. Через незрозумілі для офіційної фізики причини, промені світла, що потрапляють у край місячної кулі, відбиваються… назад до Сонця, чому ми бачимо Місяць у повний місяць як якусь монету, але не як кулю.

Ще велике сум'яття в умивносить не менш очевидна річ, що спостерігається - постійне значення рівня світності освітлених ділянок Місяця для спостерігача з Землі. Простіше кажучи, якщо припустити, що Місяць має певну властивість спрямованого розсіювання світла, то доводиться визнати, що відбиток світла змінює свій кут залежно від положення системи Сонце-Земля-Луна. Ніхто не зможе оскаржити той факт, що навіть вузький серп молодого Місяця дає світність точно таку ж, як і центральна ділянка половинного Місяця, що відповідає йому за площею. А це означає, що Місяць якимось чином керує кутом відбиття сонячних променів, щоб вони завжди відбивались від його поверхні саме до Землі!

Але коли настає повний місяць, світність Місяця стрибкоподібно збільшується. Це означає, що поверхня Місяця дивним чином розщеплює відбите світло на два основні напрямки - до Сонця та Землі. Звідси випливає інший приголомшливий висновок про те, що Місяць є практично невидимим для спостерігача з космосу, який знаходиться не на прямих відрізках Земля-Луна або Соня-Луна. Кому і навіщо знадобилося ховати Місяць у космосі в оптичному діапазоні?

Щоб зрозуміти, в чому прикол, у радянських лабораторіях витратили багато часу на оптичні експерименти з місячним грунтом, доставленим на Землю автоматичними апаратами «Місяць-16», «Місяць-20» і «Місяць-24». Однак, параметри відбиття світла, у тому числі сонячного, від місячного ґрунту цілком вписувалися у всі відомі канони оптики. Місячний ґрунт на Землі зовсім не хотів показувати тих чудес, які ми бачимо на Місяці. Виходить, що матеріали на Місяці та на Землі поводяться по-різному?

Цілком можливо. Адже неокислювану плівку завтовшки кілька атомів заліза на поверхні будь-яких предметів, наскільки мені відомо, у земних лабораторіях так і досі не вдалося отримати.

Олії у вогонь підлили фотографії з Місяця, передані радянськими та американськими автоматами, які вдалося посадити на її поверхню. Уявіть собі здивування тодішніх вчених, коли всі фотографії на Місяці виходили строго чорно-білі- без жодного натяку на такий звичний для нас райдужний спектр.

Якби фотографувався лише місячний пейзаж, рівномірно всипаний пилом від вибухів метеоритів, це ще якось можна було б зрозуміти. Але чорно-білої виходила навіть калібрувальна кольорова платівкана корпусі посадкового апарату! Будь-який колір на поверхні Місяця перетворюється на відповідну градацію сірого, що неупереджено фіксують усі фотографії поверхні Місяця, що передаються автоматичними апаратами різних поколінь та місій до сьогодні.

Тепер уявіть, в якій глибокій... калюжі сидять американці з їх біло-синьо-червонимизірково-смугастими прапорами, нібито сфотографованими на поверхні Місяця доблесними астронавтами-першопрохідниками.

(До речі, їх кольорові картинкиі відеозаписусвідчать, що американці взагалі туди нічогожодного разу не посилали! - Ред.).

Скажіть, ви б на їхньому місці сильно намагалися відновити дослідження Місяця і потрапити на його поверхню хоч за допомогою якогось «пендосоходу», знаючи, що зображення чи відеоролики вийдуть лише чорно-білими? Хіба що оперативно їх розфарбовувати, як старі фільми… Але, чорт забирай, у які кольори фарбувати шматки скель, місцеві камені чи круті схили гір!?.

До речі, дуже схожі проблеми чекали НАСА і на Марсі. Всім дослідникам вже напевно набила оскому каламутна історія з невідповідністю кольорів, точніше кажучи, з явним зрушенням усього видимого марсіанського спектру на його поверхні в червоний бік. Коли працівників НАСА підозрюють у навмисному спотворенні зображень з Марса (нібито приховують блакитне небо, зелені килими лужок, синьову озер, місцевих мешканців, що повзають…), я закликаю згадати Місяць…

Подумайте, може, на різних планетах просто діють різні фізичні закони? Тоді дуже багато одразу встає на свої місця!

Але повернемося поки що до Місяця. Давайте закінчимо з переліком оптичних аномалій, а потім візьмемося за наступні розділи місячних чудес.

Промінь світла, що проходить поблизу поверхні Місяця, отримує суттєві розкиди у напрямку, через що сучасна астрономія не може навіть обчислити час, потрібен для покриття зірок тілом Місяця.

Ніяких ідей, чому таке відбувається, офіційна наука не висловлює, крім відв'язно-маячних у стилі електростатичних причин переміщення місячного пилу на висотах над його поверхнею або діяльності деяких місячних вулканів, як навмисне викидають заломлюючу світло пил точно в тому місці, де ведеться спостереження за даною зіркою. А так, взагалі-то, місячних вулканів поки що ніхто не спостерігав.

Як відомо, земна наука вміє зібрати інформацію про хімічний склад дистанційних небесних тіл за рахунок вивчення молекулярних. спектріввипромінювання-поглинання. Так ось, для найближчого до Землі небесного тіла - Місяця - такий спосіб визначення хімічного складу поверхні не проходить! Місячний спектр практично позбавлений смуг, які можуть дати інформацію про склад Місяця.

Єдина достовірна інформація про хімічний склад місячного реголіту отримана, як відомо, щодо проб, взятих радянськими «Лунами». Але навіть тепер, коли є можливість сканувати поверхню Місяця з низької навколомісячної орбіти за допомогою автоматичних апаратів, повідомлення про знаходження тієї чи іншої хімічної субстанції на її поверхні мають вкрай суперечливий характер. Навіть за Марсом - і то інформації значно більше.

І ще про одну дивовижну оптичну особливість поверхні Місяця. Ця властивість є наслідком унікального зворотного розсіювання світла, з якого я почав розповідь про оптичні аномалії Місяця. Отже, практично весь падаючий на Місяць світловідбивається у бік Сонця та Землі.

Згадаймо, що вночі, за відповідних умов, ми можемо чудово бачити неосвітлену Сонцем частину Місяця, яка в принципі має бути абсолютно чорною, якби не… вторинне освітлення Землі! Земля, що освітлюється Сонцем, відбиває частину сонячного світла у бік Місяця. І все це світло, що освітлює тіньову частину Місяця, повертається назад на Землю!

Звідси цілком логічно припустити, що на поверхні Місяця, навіть на освітленому Сонцем стороні, весь час панують сутінки. Ця гіпотеза чудово підтверджується фотографіями місячної поверхні, створеними радянськими місяцеходами. Подивіться при нагоді на них уважно; на всі, що вдасться здобути. Вони зроблені при прямому сонячному освітленні без впливу спотворень атмосфери, але виглядають так, ніби в сутінках земних підтягнули контрастність чорно-білої картинки.

У таких умовах тіні від предметів на поверхні Місяця повинні бути абсолютно чорними, що підсвічуються лише найближчими зірками та планетами, рівень освітлення від яких на багато порядків нижчий від сонячного. Це означає, що побачити предмет, що знаходиться на Місяці в тіні, неможливо за допомогою будь-яких відомих оптичних засобів.

Для підбиття короткого підсумку оптичним феноменам Місяця надамо слово незалежному досліднику А.А. Гришаєву, автору книги про «цифровий» фізичний світ, який, розвиваючи свої ідеї, в черговій статті вказує:

«Облік факту наявності цих феноменів надає нові, вбивчі аргументи на підтримку тих, хто вважає підробкамикіно- та фотоматеріали, які нібито свідчать про перебування американських астронавтів на поверхні Місяця. Адже ми даємо ключі для проведення найпростішої та нещадної незалежної експертизи.

Якщо нам демонструють на тлі залитих сонячним світлом (!) місячних пейзажів астронавтів, на скафандрах яких немає чорних тіней з протисонячного боку, або непогано освітлену фігуру астронавта в тіні «місячного модуля», або кольорові (!) кадри з колоритною передачею кольорів американського прапора то це все незаперечні докази, що кричать про фальсифікацію.

Фактично, нам невідомо жодного кіно- чи фотодокумента, що зображує астронавтів на Місяці при справжньому місячному освітленні і зі справжньою місячною кольоровою «палітрою».

І відразу продовжує:

«Занадто аномальні фізичні умови на Місяці, і не можна виключити, що навколомісячний простір є згубним для земних організмів. На сьогодні нам відома єдина модель, яка пояснює короткодія місячного тяжіння, а заодно і походження супутніх аномальних оптичних феноменів – це наша модель «хисткого простору».

І якщо ця модель вірна, то вібрації «хибного простору» нижче за деяку висоту над поверхнею Місяця цілком здатні розривати слабкі зв'язки в молекулах білків - з руйнуванням їх третинної і, можливо, вторинної структур.

Наскільки нам відомо, з навколомісячного простору живими повернулися черепашки на борту радянського апарату «Зонд-5», який здійснив обліт Місяця з мінімальним віддаленням від його поверхні приблизно 2000 км. Можливо, що при ближчому до Місяця проходженні апарату тварини загинули б внаслідок денатурації білків у їхніх організмах. Якщо від космічної радіації захиститися дуже складно, але все-таки можливо, то від вібрацій «хисткого простору» фізичного захисту немає…»

Наведений уривок лише мала частина роботи, з оригіналом якої я настійно рекомендую ознайомитись на сайті автора

А ще мені подобається, що місячну експедицію перезняли у високій якості. А то й справді, дивитися було гидко. Все-таки 21 століття. Так що зустрічайте, як HD «Катанія на санях на масляну».