3ab ab 2ab 1 чи тотожністю. Поняття тотожності

21.11.2021

Кожен школяр молодших класів знає, що з зміни місць доданків сума змінюється, це твердження правильне й у множників і произведения. Тобто, згідно з переміщувальним законом,
a + b = b + a і
a · b = b · a.

Сполучний закон стверджує:
(a + b) + c = a + (b + c) та
(ab)c = a(bc).

А розподільчий закон констатує:
a(b + c) = ab + ac.

Ми згадали найпростіші приклади застосування даних математичних законів, але всі вони поширюються на дуже широкі числові області.

За будь-якого значення змінної х значення виразів 10(х + 7) і 10х + 70 рівні, оскільки для будь-яких чисел виконується розподільчий закон множення. Про такі висловлювання говорять, що вони тотожно рівні на безлічі всіх чисел.

Значення виразу 5х 2 /4а і 5х/4 через основну властивість дробу рівні за будь-якого значення х, крім 0. Такі вирази називають тотожно рівними на безлічі всіх чисел. Окрім 0.

Два вирази з однією змінною називаються тотожно рівними на множині, якщо за будь-якого значення змінної, що належить цій множині, їх значення рівні.

Аналогічно визначають тотожну рівність виразів із двома, трьома тощо. змінними на деякій парі, трійок і т.д. чисел.

Наприклад, вираз 13аb та (13а)b тотожно рівні на множині всіх пар чисел.

Вираз 7b 2 c/b і 7bc тотожно рівні на множині всіх пар значень змінних b і c, в яких значення b не дорівнює 0.

Рівності, в яких ліва і права частини - вирази, тотожно рівні на деякій множині, називаються тотожністю на цій множині.

Очевидно, що тотожність на множині перетворюється на справжню числову рівність при всіх значеннях змінної (при всіх парах, трійках і т.д. значень змінних), що належать цій множині.

Отже, тотожність – це рівність зі змінними, правильне за будь-яких значеннях змінних, що входять до нього.

Наприклад, рівність 10(х + 7) = 10х + 70 є тотожністю на безлічі всіх чисел, вона перетворюється на справжню числову рівність за будь-якого значення х.

Справжні числові рівності також називають тотожності. Наприклад, рівність 32 + 42 = 52 - тотожність.

У курсі математики доводиться виконувати різноманітні перетворення. Наприклад, суму 13х + 12х ми можемо замінити виразом 25х. Добуток дробів 6а 2 /5 · 1/a замінимо дробом 6а/5. Виходить, що вирази 13х + 12х і 25х тотожно рівні на множині всіх чисел, а вирази 6а 2 /5 · 1/a і 6а/5 тотожно рівні на множині всіх чисел, крім 0. Заміну виразу іншим виразом, тотожно рівним йому на деякому множині, називають тотожним перетворенням вираження на цій множині.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

ЛЕКЦІЯ №3 Доказ тотожностей

Мета: 1. Повторити визначення тотожності та тотожно рівних виразів.

2.Ввести поняття тотожного перетворення виразів.

3. Множення багаточлена на багаточлен.

4. Розкладання многочлена на множники способом угруповання.

Нехай кожен день і кожну годину

Нам нове добуде,

Нехай добрим буде розум у нас,

А серце буде розумним!

У математиці існує безліч понять. Один із них тотожність.

Тотожністю називають рівність, яка виконується за всіх значень змінних, що до нього входять.Деякі тотожності ми вже знаємо.

Наприклад, усі формули скороченого множенняє тотожності.

Формули скороченого множення

1. (a ± b)2 = a 2 ± 2 ab + b 2,

2. (a ± b)3 = a 3±3 a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2).

Довести тотожність- Це означає встановити, що для будь-якого допустимого значення змінні його ліва частина дорівнює правій частині.

У алгебрі є кілька різних способів доказу тотожностей.

Способи доказу тотожностей

лівої частини тотожності.

правої частини тотожності.

лівої та правої частини тотожності.

З правої частини тотожності віднімаємо ліву частину.

З лівої частини тотожності віднімають праву частину.

Слід також пам'ятати, що тотожність справедлива лише допустимих значень змінних.

Як бачите способів, досить багато. Який спосіб вибрати в даному конкретному випадку залежить від тотожності, яку вам необхідно довести. У міру того, як ви доводитимете різні тотожності, прийде і досвід у виборі способу доказу.

Тотожність - це рівняння, яке задовольняється тотожно, тобто справедливо для будь-яких допустимих значень змінних, що входять до нього. Довести тотожність - означає встановити, що з усіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини рівні.
Способи доведення тотожності:
1. Виконують перетворення лівої частини та отримують у результаті праву частину.
2. Виконують перетворення правої частини й у результаті отримують ліву часть.
3. Окремо перетворять праву і ліву частини і отримують і в першому і в другому випадку один і той же вираз.
4. Складають різницю лівої та правої частини та в результаті її перетворень отримують нуль.
Розглянемо кілька простих прикладів

приклад 1.Доведіть тотожність x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Рішення.

Так як у правій частині невеликий вираз, спробуємо перетворити ліву частину рівності.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Наведемо подібні доданки та винесемо загальний множник за дужку.

x a + x b + a b – a x = x b + a b = b (a + x).

Отримали що ліва частина після перетворень стала такою самою як і права частина. Отже, ця рівність є тотожністю.

приклад 2.Доведіть тотожність: a² + 7 ·a + 10 = (a+5) · (a+2).

Рішення:

У цьому прикладі можна надійти в такий спосіб. Розкриємо дужки у правій частині рівності.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Бачимо, що після перетворень права частина рівності стала такою ж як і ліва частина рівності. Отже, ця рівність є тотожністю.

« Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називають тотожним перетворенням виразу»

З'ясувати, яка рівність є тотожністю:

1. - (а - в) = - а - в;

2. 2 · (х + 4) = 2х - 4;

3. (х - 5) · (-3) = - 3х + 15.

4. рху (- р2 х2 у) = - р3 х3 у3.

«Щоб довести, що деяка рівність є тотожністю, або, як кажуть інакше, щоб довести тотожність, використовують тотожні перетворення виразів»

Рівність вірна за будь-яких значень змінних, називають тотожністю.Щоб довести, що деяка рівність є тотожністю, або, як кажуть інакше, щоб довести тотожністьвикористовують тотожні перетворення виразів.
Доведемо тотожність:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1 Перетворимо ліву частину цієї рівності:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) + 1 В результаті тотожного перетвореннялівої частини многочлена ми отримали його праву частину і тим самим довели, що ця рівність є тотожністю.
Для докази тотожностіперетворять його ліву частину на праву або його праву частину на ліву, або показують, що ліва і права частини вихідної рівності тотожно рівні одному й тому ж виразу.

Множення багаточлена на багаточлен

Помножимо багаточлен a + bна багаточлен c + d. Складемо твір цих багаточленів:
(a+b)(c+d).
Позначимо двочлен a + bбуквою xі перетворимо отриманий твір за правилом множення одночлена на многочлен:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
На вираз xc+xd.підставимо замість xбагаточлен a+bі знову скористаємося правилом множення одночлена на багаточлен:
xc + xd = (a + b) c + (a + b) d = ac + bc + ad + bd.
Отже: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Твір багаточленів a + bі c + dми представили у вигляді багаточлена ac + bc + ad + bd. Цей багаточлен є сумою всіх одночленів, які отримуються при множенні кожного члена багаточлена. a + bна кожен член багаточлена c + d.
Висновок: добуток будь-яких двох багаточленів можна подати у вигляді багаточлена.
Правило: щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.
Зауважимо, що при множенні багаточлена, що містить mчленів на багаточлен, що містить nчленів у творі до приведення подібних членів має вийти mnчленів. Цим можна скористатися контролю.

Розкладання многочлена на множники способом угруповання:

Раніше ми познайомилися з розкладанням багаточлена на множники шляхом винесення загального множника за дужки. Іноді вдається розкласти багаточлен на множники, використовуючи інший спосіб - угруповання його членів.
Розкладемо на множники багаточлен
ab - 2b + 3a - 6 Згрупуємо його так, щоб доданки в кожній групі мали спільний множник і винесемо цей множник за дужки:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Кожен доданок виразу має загальний множник (a - 2). Винесемо цей спільний множник за дужки:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) У результаті ми розклали вихідний многочлен на множники:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) Спосіб, який ми застосували для розкладання многочлена на множники називають способом угруповання.
Розкладання багаточлена ab - 2b + 3a - 6на множники можна виконати, групуючи його члени інакше:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)

Повторити:

1. Методи підтвердження тотожностей.

2. Що називають тотожним перетворенням виразу.

3. Множення багаточлена на багаточлен.

4. Розкладання многочлена на множники способом угруповання

Доказ тотожностей. У математиці існує безліч понять. Одна з них тотожність.

Тотожністю називають рівність, яка виконується за всіх значень змінних, що до нього входять.

Деякі тотожності ми вже знаємо. Наприклад, всі формули скороченого множення є тотожності.

У алгебрі є кілька різних способів доказу тотожностей.

Способи доказу тотожностей

лівої частини тотожності.Якщо в результаті отримаємо праву частину, тотожність вважається доведеним.
Виконати рівносильні перетворення правої частини тотожності.Якщо у результаті отримаємо ліву частину, тоді тотожність вважається доведеною.
Виконати рівносильні перетворення лівої та правої частини тотожності.Якщо в результаті отримаємо однаковий результат, тотожність вважається доведеною.
З правої частини тотожності віднімаємо ліву частину.
З лівої частини тотожності віднімають праву частину.Виробляємо над різницею рівносильні перетворення. І якщо в результаті отримуємо нуль, то тотожність вважається доведеною.

Слід також пам'ятати, що тотожність справедлива лише допустимих значень змінних.

Розглянемо кілька простих прикладів

приклад 1.

Доведіть тотожність x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Рішення.

Так як у правій частині невеликий вираз, спробуємо перетворити ліву частину рівності.

x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

Наведемо подібні доданки та винесемо загальний множник за дужку.

x * a + x * b + a * b - a * x = x * b + a * b = b * (a + x).

приклад 2.

Доведіть тотожність a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Рішення.

У цьому прикладі можна надійти в такий спосіб. Розкриємо дужки у правій частині рівності.

(a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

те, за допомогою чого одна річ абсолютно подібна до іншої. Розуміння зазвичай передбачає підбиття («ідентифікацію») нового знання під те, що ми вже знаємо. Саме в цьому сенсі тотожність – форма будь-якого розуміння. Мейєрсон бачив у синтезі всіх знань про універсум, в їхній редукції до тотожності ідеал науки: саме наука має прийти в результаті до єдиної формули (представленої сьогодні формулою відносності), з якої ми зможемо вивести всі приватні закони науки. Цей ідеал постає швидше як філософський, ніж як науковий, тому що науковий прогрес веде швидше до нескінченної диверсифікації методів науки (спеціалізація), і її безпосередня мета полягає скоріше у вічній можливості пізнання нових об'єктів, ніж уніфікації методів (ця робота з уніфікації становить мету роздуми про науку, епістемологію).

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

ТОЧНІСТЬ

Поняття Т. є осн. поняттям філософії, логіки та математики, тому до нього відносяться всі труднощі, пов'язані з з'ясуванням та визначенням вихідних (основних, фундаментальних) понять науки. У комплексі питань, що належать до поняття Т., на особливу увагу заслуговують два: питання про Т. "... самого по собі. Визнаємо ми, що воно існує, або не визнаємо?" (Plato, Phaed. 74 b; рус. Пров. Соч., Т. 2, 1970) і питання про Т. речей. (Т. речей виражають зазвичай символом "=", який зустрічається вперше у Р. Рекорду в його "The whetstone of witte", L., 1557.) Перше з цих питань є частиною питання про онтологіч. статус абстрактних об'єктів (див., напр., Ставлення, Універсалії), другий має самостійність. значення. Як би ці питання не вирішувалися у філософії, для логіки та математики їх вирішення завжди еквівалентне вирішенню питання про визначення поняття Т. Однак неважко переконатися, проаналізувавши будь-яке з відомих логічних (математичних) визначень Т. (замість зі способом його обґрунтування), що "ідея Т." і так чи інакше певне "поняття Т." - Це не одне і те ж. Ідея Т. п е д в а р яет будь-яке визначення поняття (предикату) Т., так само як і поняття "тотожні речі", що вводиться визначенням. Це пов'язано з тим, що судження про Т. к.-л. об'єктів завжди передбачає, що вже виконані (або мають бути виконані) якісь інші, допоміжні, але необхідні – аж ніяк не сторонні для цієї думки – ототожнення. Саме у зв'язку з проблемою "допустимих ототожнення" філос. аналіз може стати корисною передумовою для логічного та матем. аналізу поняття Т. Принцип індивідуації Відповідно до філос. т. зр. слід розрізняти онтологічні., гносеологічні. та семантич. проблеми Т. речей. Онтологічна проблема Т. - це проблема Т. речей "самих по собі" або in se - по їхньому "внутрішньому обстановці" (Г. Кантор). Вона ставиться і вирішується на основі п р і н ц і п а і н д і в і д у а ц і (principium individuationis): всяка річ універсуму є єдностей. річ; двох різних речей, з яких брало кожна була б тією ж річчю, що й інша, не існує. Саме "... відповідно до початків індивідуації, які походять від матерії" ми приймаємо, що "... всяка самосуща річ, складена з матерії та форми, складена з індивідуальної форми та індивідуальної матерії" (Фома Аквінський, цит. за кн. .: "Антологія світової філософії", т. 1, ч. 2, М., 1969, с.847, 862). Принцип індивідуації не містить у собі жодної вказівки на те, як індивідуалізувати предмети універсуму або як вони індивідуалізовані самі по собі, оскільки це вже має місце; він лише постулює абстрактну можливість такої індивідуалізації. І це природно, якщо ми розуміємо його як принцип суто онтологічний. Питання, як індивідуалізувати предмети універсуму, є вже гносеологич. питання. Але в цьому випадку ніяка можлива індивідуалізація не виводить нас за межі того інтервалу абстракції, яким визначається універсум міркування (див. Універсум). Хоча принцип індивідуації є давнім філософом. твердженням про світ, його аналоги можна знайти і в (сучасних) власне наукових (математичних, фізичних та ін) теоріях. У зв'язку з цим можна послатися на ідею "субстанційних", або світових, точок (просторових точок у певний момент часу) у чотиривимірному (абстрактному) "світі Мінковського" і пов'язану з нею ідею просторово-часової моделі фізичної. реальності, що дозволяє індивідуалізувати кожен її об'єкт, або на принцип Паулі, або, нарешті, на гіпотезу Г. Кантора про те, що будь-які два елементи довільної множини помітні між собою. Можна навіть вважати, що принцип індивідуації лежить в основі всієї класич. математики з її - у відомому сенсі онтологічним - "зрозумілим" постулатом упорядкованого (за величиною) числового континууму. Принцип Т. невиразний. Приймаючи принцип індивідуації, ми, як у повсякденній практиці, і у теорії, постійно ототожнюємо різні предмети, тобто. говоримо про різні предмети так, ніби вони були однією і тією ж річчю. Абстракція ототожнення різного, що виникає при цьому, була вперше явно відзначена Лейбніцем в його знаменитому принципі Т. нерозрізняються (Principium identitatis indiscernibilium). Здається протиріччя між принципом індивідуації і принципом Т. нерозрізнених легко пояснити. Суперечність виникає лише тоді, коли, вважаючи, що, напр., x і у – різні речі, у формулюванні принципу Т. нерозрізнених мають на увазі їхню абсолютну, або онтологічну, нерозрізненість, а саме, коли думають, що нерозрізненість x і у передбачає , Що x і в "самі по собі" не відрізняються за будь-якою ознакою. Однак, якщо мати на увазі відносну або гносеологічну, нерозрізненість x і у, напр. їхня нерозрізненість "для нас", хоча б ту, з якою ми можемо зустрітися в результаті практично здійсненного порівняння х і у (див. Про це в ст. Порівняння), то ніякого протиріччя не виникає. Якщо розрізняти поняття "річ", або предмет універсуму "сам собою", і "об'єкт", або предмет універсуму в пізнанні, в практиці, у відношенні до інших предметів, то сумісність принципу Т. нерозрізнений і принцип індивідуації повинен означати, що немає тотожних речей, але є тотожні об'єкти. Очевидно, що з онтологіч. т. зр., вираженої у принципі індивідуації, Т. представляється абстракцією і, отже, ідеалізацією. Тим не менш воно має об'єктивну підставу в умовах існування речей: практика переконує нас у тому, що існують ситуації, в яких брало "різні" речі поводяться як "одна і та ж" річ. У цьому сенсі принцип Т. невиразних висловлює емпірично підтверджуваний, заснований на досвіді, факт нашої діяльності, що абстрагує. Тому "ототожнення різного" за принципом Лейбніца не слід розуміти як спрощення або огрублення дійсності, не відповідне, взагалі кажучи, і стінному порядку. Інтервал абстракції ототожнення. Нерозрізненість об'єктів, що ототожнюються згідно з принципом Т. нерозрізняються, може виражатися операційно - в їх "поведінці", тлумачитися в термінах властивостей, взагалі визначатися сукупністю деяких фіксиров. умов нерозрізненості. Ця сукупність умов (функцій або предикатів), щодо яких брало к.-л. предмети універсуму невиразні, визначає інтервал абстракції про те, що предмети цих предметів. Так, якщо на безлічі предметів визначено властивість А і предмет x ним володіє, то для ототожнення х і в інтервалі абстракції, що визначається властивістю А, необхідно і достатньо, щоб предмет також мав властивість А, що символічно можна виразити наступною аксіомою: A( x)? ((x = y)? A (y)). Зауважимо, що за наявності "надлишкової" інформації про явне (природно - "поза" даного інтервалу абстракції) відмінність предметів їх ототожнення "всередині" даного інтервалу абстракції може навіть здаватися парадоксальним. Типовий приклад з теорії множин – "парадокс Сколема". Якщо дивитися "зсередини" інтервалу абстракції, що визначається властивістю А, то х і у - абсолютно той самий об'єкт, а не два предмети, як передбачається в наведеному вище міркуванні. Справа в тому, що міркування про Т. двох і, отже, різних предметів можливе тільки в деякому метаінтервалі, що вказує також на можливість індивідуалізації x і у. Очевидно, що нерозрізненість x і еквівалентна тут їх взаємозамінності щодо властивості А, але, зрозуміло, не щодо будь-якої властивості. У зв'язку з цим вкажу на абстракцію актуальної помітності, що випливає з принципу індивідуації і пов'язану з таким тлумаченням цього принципу, при якому він зводиться до твердження про існування умов, в яких брало індивідуалізація завжди здійсненна (напр. , умов, в яких брало x і у вже не будуть взаємозамінні, що і дозволить, природно, говорити про їх індивідуальність). У цьому сенсі принцип індивідуації відрізняється тим самим характером, як і т.зв. "Чисті" постулати існування в математиці, і може розглядатися як абстракція індивідуалізації. Не кажучи вже про "абстрактні" матем. об'єктах, очевидно, що й " конкретних " физич. предметів природи умови індивідуалізації будь-якого їх зовсім не завжди можуть бути знайдені або явно вказані в к.-л. конструктивному значенні. Понад те, завдання їх розшуку іноді принципово нездійсненна, як це свідчить, напр., принцип " неподільності квантових станів " і зумовлена ним, запропонована самої природою, невизначеність у описі " індивідуального поведінки " елементарних частинок. Доповнення. Інтервал абстракції ототожнення може бути настільки (але як завгодно) широкий, що до нього увійдуть всі (вихідні) поняття (функції або предикати) аналізованої в тому чи іншому випадку теорії. Тоді кажуть, що х=у для будь-якого поняття А. У цьому випадку і квантор "для будь-якого", і Т. мають відносний характер - вони p е л я т і в і з і р о в а н і безліччю понять теорії, яке обмежено, у свою чергу, осмисленістю цих понять (інтервалом значення) по відношенню до предметів універсуму даної теорії. Напр., предикат "червоний" не визначено на безлічі натуральних чисел і тому до нього не можуть належати слова "для будь-якого предикату", коли говорять про Т. в арифметиці. Такі думки про граніювання по суті справи завжди мають місце в додатках теорії, чим і виключаються протиріччя, пов'язані з порушенням інтервалу абстракції ототожнення. Оскільки у ототожненнях мають на увазі лише предикати цієї теорії – інтервал абстракції ототожнення фіксований. Предмети універсуму, невиразні щодо кожного предикату теорії, невиразні абсолютно в даному інтервалі-абстракції і можуть розглядатися як "один і той же" об'єкт, що якраз і відповідає звичайному тлумаченню Т. Якщо щодо кожного такого предикату невиразні всі предмети універсуму, то останній в цьому випадку буде нам одночленной сукупністю, хоча у ін. інтервалі абстракції може і бути таким. Так, якщо умова А - тавтологія, то в предметної області всі предмети тотожні в інтервалі А. Інакше кажучи, тавтології не можуть служити критерієм помітності об'єктів, вони як би проектують універсум в точку, виробляючи абстракцію ототожнення елементів множини будь-якої потужності, різні елементи в "один і той же" абстрактний об'єкт. Тому не дивно, що до аксіом "чистого" предикатів обчислення першого ступеня можна без суперечності приєднувати формулу?хА(х)^/xA(x), що виражає тотожність (або абсолютну нерозрізненість) всіх предметів універсуму. Очевидно, ця неповнота чистого обчислення предикатів (елементарної логіки) обумовлена саме його неонтологічному характері. . У цих випадках Т., оскільки йдеться про ототожнення лише в цій системі понять, може бути введено кінцевим списком аксіом Т. для конкретних функцій і предикатів аналізованої теорії. Але постулюючи т.ч. ті чи інші ототожнення, ми як би формуємо універсум відповідно до принципу Т. невиразних. Значить універсум у цьому сенсі є епістемологічним. поняттям, що залежать від наших абстракцій. Питання, що вважати "одним і тим же" об'єктом, яке число "різних" індивідуумів у предметній області (яка потужність області індивідуумів), - це у певному сенсі питання про те, як ми застосовуємо наші абстракції і які саме, а також яка об'єктивна область їх застосування. Зокрема це завжди питання про інтервал абстракції. Ось чому з нашої т. зр. вказівку на інтервал абстракції ототожнення у визначенні Т. слід вважати необхідною умовою осмисленого застосування "поняття т.". Поняття "інтервал абстракції ототожнення" є гносеологічним. доповненням до поняття абстракції ототожнення та, у певному сенсі (змістовним), його уточненням. Крім того, вводячи поняття Т. в інтервалі абстракції, ми легко досягаємо необхідної спільності в побудові теорії Т., уникаючи звичайного "множення понять", пов'язаного з розрізненням термінів "тотожний", "подібний", "рівний", "еквівалентний" та ін. .У зв'язку з вищесказаним визначення предикату Т. у формулюванні Гільберта - Бернайса, що задається, як відомо, умовами: 1) х = х 2) х = y? (A(x)? А(у)), можна інтерпретувати так, що умова 2) виражатиме Т. предметів універсуму в інтервалі абстракції, що визначається безліччю аксіом, що задаються схемою аксіом 2). Що ж до умови 1), то, висловлюючи властивість рефлексивності Т., воно у сенсі відповідає принципу індивідуації. Принаймні, очевидно, що з принципу індивідуації не випливає заперечення умови х = х, оскільки між принципом індивідуації та традиц. принципом Т. (абстрактним Т. - lex identitatis), що виражається формулою х = х, є наступна певна "зв'язок за змістом": якби індивідуальний предмет універсуму не був тотожний із самим собою, то він не був би самим собою, а був би іншим предметом, що, звичайно, веде до заперечення принципу індивідуації (пор. - Маркс К. і Енгельс Ф., Соч., 2 видавництва, т. 20, с. 530). Т.ч., принцип індивідуації передбачає затвердження х = х, яке є його необхідною умовою - логічної основної поняття індивідуального. Достатньо констатувати сумісність х = х з принципом індивідуації, щоб, ґрунтуючись на сумісності 1) і 2), стверджувати сумісність принципу індивідуації з принципом Т. нерозрізнених, а беручи до уваги незалежність 1) та 2), дійти висновку про незалежність цих же принципів , принаймні, у цьому випадку. Та обставина, що принцип індивідуації у зазначеному значенні відповідає традиціям. закону Т. (див. Тотожності закон), представляє особливий інтерес з т. зр. проблеми "реалізованості" абстрактного Т. у природі, а отже. та онтологіч. статус абстракцій взагалі. Принцип Т. невиразних у тому його тлумаченні, яке дано вище - як принцип Т. в інтервалі абстракції, - висловлює по суті філософську гносеологічну ідею Т., заснованого на понятті практики. Що ж до математики, де однак оперують з предикатом Т., з умовою, що тотожне можна замінювати тотожним (див. Правило заміни рівного рівним), то тут, приймаючи принцип індивідуації, тобто. вважаючи, що кожен матем. об'єкт в універсумі міркування індивідуальний, очевидно, легко можна уникнути рішення гносеологич. проблеми Т., тому що в пропозиціях матем. теорій матем. об'єкти фігурують не "самі по собі", а через своїх представників - символи, що позначають їх. Звідси можливість побудов, які істотно ігнорують умову індивідуальності цих об'єктів; Так, відома побудова взаємно-однозначної відповідності між сукупністю натуральних чисел та її частиною – сукупністю всіх парних чисел (парадокс Галілея) ігнорує єдиність кожного натурального числа, задовольняючись Т. його представників: інакше як можлива вказана побудова? Аналогічних побудов у математиці безліч. Затвердження "предмет x тотожний предмету y" математик зазвичай приписує наступний зміст: "символи x і у позначають один і той же предмет" або "символ x позначає той же предмет, який позначений символом у". Очевидно, що таке Т. ставиться швидше до мови відповідних обчислень (взагалі до формалізованої мови) і висловлює, по суті, випадок мовної синонімії, а зовсім не філософський гносеологічний. сенс Т. Проте характерно, що й у разі не вдається уникнути относит. ототожнення, заснованого на застосуванні принципу абстракції, оскільки синоніми виникають як результат абстракції ототожнення за позначенням (див. Синоніми у логіці). До того ж при інтерпретації обчислень будь-яке таке семантичне визначення Т. як "відносини між виразами мови" необхідно доповнювати роз'ясненням того, що? у цій семантич. формулюванні Т. означають слова "один і той самий предмет". У зв'язку з цим формулювання принципу Т., відоме як лейбніцевсько-расселівське (див. Рівність у логіці та математиці), навряд чи відповідає філос. т. зр. самого Лейбниця. Відомо, що Лейбніц приймав принцип індивідуації: "Якби два індивіди були зовсім... не помітні самі по собі, то...в цьому випадку не було б індивідуальної відмінності або різних індивідів" ("Нові досліди про людський розум", М .-Л., 1936, с. 202). Відомо також, що будь-яке нетривіальне вживання Т., відповідне принципу Т. нерозрізнених, передбачає, що x і у - різні предмети, які лише відносно нерозрізняються, нерозрізняються в деякому інтервалі абстракції, що визначається або вирішальною здатністю наших засобів розрізнення, або прийнятої нами абстракцією ототожнення, або, нарешті, що задається природою. Але у формулюванні Рассела наявність необмежених. квантора спільності за предикатною змінною, надаючи визначенню абсолютний характер ("абсолютність" тут слід розуміти як антипод "відносності" в указ. вище сенсі), нав'язує ідею абс. нерозрізненості x і у, що суперечить принципу індивідуації, хоча з визначення Рассела виводиться формула х = х, яка, як було зазначено вище, сумісна і з принципом Т. нерозрізняються і з принципом індивідуації. У світлі ідеї Т. в інтервалі абстракції з'ясовується ще одна гносеологічна. роль принципу абстракції: якщо у визначенні Т. предикат (хоча б і довільний) характеризує клас абстракції предмета х, і у – елемент цього класу, то тотожність x і у силу принципу абстракції не передбачає, що x і у повинні бути одним і тим ж предметом в онтологічні. сенсі. З цієї т. зр., два предмети універсуму, що належать до одного класу абстракції, розглядаються як "один і той же" предмет не в онтологічному, а в гносеологічному. значенні: вони тотожні тільки як абстрактні представники одного класу абстракції і тільки в цьому значенні вони невиразні. У цьому, власне, і полягає діалектика поняття Т., і навіть відповідь питанням: " Як можуть бути тотожні різні предмети? " . Літ.:Жегалкін І. І., Арифметизація символічної логіки, "Матем. Зб.", 1929, т. 36, вип. 3–4; Яновська С.?, Про так звані "визначення через абстракцію", в кн.: Зб. статей з філософії математики, М., 1936; Лазарєв Ф. Ст, Сходження від абстрактного до конкретного, в кн.: Зб. робіт аспірантів та студентів філософського факультету МДУ, М., 1962; Вейль Р., Доповнення, в сб: Прикладна комбінаторна математика, пров. з англ., М., 1968. М. Новосьолов. Москва.

Тлумачний словник російської. С.І.Ожегов, Н.Ю.Шведова.

тотожність

А й ТОЖНОСТЬ. -а, СР.

Повна схожість, збіг. Г. поглядів.

(тотожність). У математиці: рівність, справедливе за будь-яких числових значеннях входять до нього величин. || дод. тотожний, -а, -а і теж, -а, -ое (до 1 знач.). Тотожні вирази алгебри. ТЕЖ [не змішувати з поєднанням займенника "то" і частки "а").

нареч. Так само, як і хто-що-н. Ти втомився, я т.

Союз. Те саме, що також. Ти їдеш, а брате? – Т.

частка. Висловлює недовірливе чи негативне, іронічне ставлення (прост.). *Т. розумник знайшовся! Він — поет. - Поет т. (Мені)!

Новий тлумачно-словотвірний словник російської, Т. Ф. Єфремова.

тотожність

пор. Рівність, справедливе за всіх числових значеннях літер (в математиці).

Енциклопедичний словник, 1998

тотожність

відношення між об'єктами (предметами реальності, сприйняття, думки), що розглядаються як "одно й те саме"; "граничний" випадок відношення рівності. У математиці тотожність - це рівняння, яке задовольняється тотожно, тобто. справедливо для будь-яких допустимих значень змінних, що входять до нього.

Тотожність

основне поняття логіки, філософії та математики; використовується у мовах наукової теорій для формулювання визначальних співвідношень, законів та теорем. У математиці Т. - це рівняння, яке задовольняється тотожно, тобто справедливо для будь-яких допустимих значень змінних, що входять до нього. З логічного погляду, Т. ≈ це предикат , що зображується формулою х = у (читається: «х тотожно у», «х те саме, що і y»), якому відповідає логічна функція, істинна, коли змінні х і у означають різні входження «одного й того» предмета, і хибна інакше. З філософської (гносеологічної) точки зору, Т. - це відношення, засноване на уявленнях або судженнях про те, що таке "один і той же" предмет реальності, сприйняття, думки. Логічні та філософські аспекти Т. додаткові: перший дає формальну модель поняття Т., другий - підстави для застосування цієї моделі. Перший аспект включає поняття про «одному і тому ж» предметі, але зміст формальної моделі не залежить від змісту цього поняття: ігноруються процедури ототожнення та залежність результатів ототожнення від умов або способів ототожнення, від явно або неявно прийнятих при цьому абстракцій. У другому (філософському) аспекті розгляду підстави застосування логічних моделей Т. пов'язуються з тим, як ототожнюються предмети, за якими ознаками, і вже залежить від погляду, умов і засобів ототожнення. Розрізнення логічних і філософських аспектів Т. сходить до відомого положення, що судження про тотожність предметів і Т. як поняття - це не те саме (див. Платон, Соч., Т. 2, М., 1970, с. 36) . Істотно, однак, наголосити на незалежності та несуперечності цих аспектів: поняття Т. вичерпується змістом відповідної йому логічної функції; воно не виводиться з фактичної тотожності предметів, «не витягується» з неї, а є абстракцією, яка заповнюється в «відповідних» умовах досвіду або, в теорії, - шляхом припущень (гіпотез) про фактично допустимі ототожнення; разом з тим, при виконанні підстановочності (див. нижче аксіому 4) у відповідному інтервалі абстракції ототожнення, «всередині» цього інтервалу, фактичне Т. предметів точно збігається з Т. в логічному сенсі. Важливість поняття Т. зумовила потребу у спеціальних теоріях Т. Найпоширеніший спосіб побудови цих теорій - аксіоматичний. Як аксіом можна вказати, наприклад, такі (не обов'язково всі):

х = у É у = х,

x = y & y = z É x = z,

А (х) É (х = у É А (у)),

де А (х) - довільний предикат, що містить х вільно і вільний для у, а А (х) і А (у) відрізняються тільки входженнями (хоча б одним) змінних х та y.

Аксіома 1 постулює властивість рефлексивності Т. У традиційній логіці вона вважалася єдиним логічним законом Т., до якого як «нелогічні постулати» додавали зазвичай (в арифметиці, алгебрі, геометрії) аксіоми 2 і З. Аксіому 1 можна вважати гносеологічно обґрунтованою, оскільки вона є свого роду логічним виразом індивідуації, на якому, у свою чергу, ґрунтується «даність» предметів у досвіді, можливість їх впізнавання: щоб говорити про предмет «як даний», необхідно якось виділити його, відрізнити від інших предметів і надалі не плутати з ними. У цьому сенсі Т., засноване на аксіомі 1, є особливим ставленням «самототожності», яке пов'язує кожен предмет тільки з самим собою і ні з яким ін предметом.

Аксіома 2 постулює властивість симетричності Т. Вона стверджує незалежність результату ототожнення від порядку в парах предметів, що ототожнюються. Ця аксіома також має відоме виправдання у досвіді. Наприклад, порядок розташування гирь і товару на терезах різний, якщо дивитися зліва направо, для покупця і продавця, звернених обличчям один до одного, але результат - у даному випадку рівновага - один і той же для обох.

Аксіоми 1 і 2 спільно служать абстрактним виразом Т. як нерозрізненості, теорії, в якій уявлення про «одного і того ж» предметі ґрунтується на фактах не спостережуваності відмінностей і істотно залежить від критеріїв помітності, від засобів (приладів), що відрізняють один предмет від іншого , в кінцевому рахунку від абстракції нерозрізненості. Оскільки залежність від «порога помітності» на практиці принципово непереборна, уявлення про Т., що задовольняє аксіомам 1 і 2, є єдиним природним результатом, який можна отримати в експерименті.

Аксіома 3 постулює транзитивність Т. Вона стверджує, що суперпозиція Т. також є Т. і є першим нетривіальним твердженням про тотожність предметів. Транзитивність Т. ≈ це або «ідеалізація досвіду» в умовах «убутньої точності», або абстракція, що заповнює досвід і «що створює новий, відмінний від нерозрізненості, сенс Т.: нерозрізненість гарантує тільки Т. в інтервалі абстракції нерозрізненості, а ця остання не пов'язана з виконанням аксіоми З. Аксіоми 1, 2 та 3 спільно служать абстрактним виразом теорії Т. як еквівалентності.

Аксіома 4 постулює необхідною умовою для Т. предметів збіг їх ознак. З логічного погляду, ця аксіома очевидна: «одному й тому» предмету належать всі його ознаки. Але оскільки уявлення про «одному й тому» предметі неминуче ґрунтується на певних допущеннях або абстракціях, ця аксіома не є тривіальною. Її не можна верифікувати "взагалі" - за всіма мислимими ознаками, а лише в певних фіксованих інтервалах абстракцій ототожнення або нерозрізненості. Саме так вона і використовується на практиці: предмети порівнюються і ототожнюються не за всіма мислимими ознаками, а лише за деякими основними (вихідними) ознаками тієї теорії, в якій хочуть мати поняття про «одний і той же» предмет, заснований на цих ознаках і на аксіомі 4. У цих випадках схема аксіом 4 замінюється кінцевим списком її алоформ ≈ конгруентних їй «змістовних» аксіом Т. Наприклад, в аксіоматичній теорії множин Цермело ≈ Френкеля ≈ аксіомами:

4.1 z Î x É (x = y É z Î y),

4.2 x Î z É (x = y É y Î z),

визначальними, за умови, що універсум містить лише множини, інтервал абстракції ототожнення множин за «членством у них» та за їх «власним членством», з обов'язковим додаванням аксіом 1?3, що визначають Т. як еквівалентність.

Перераховані вище аксіоми 1≈4 відносяться до так званих законів Т. З них, використовуючи правила логіки, можна вивести і багато інших законів, невідомі до математичної логіки. Відмінність між логічним і гносеологічним (філософським) аспектами Т. не має значення, якщо йдеться про загальні абстрактні формулювання законів Т. Справа, однак, істотно змінюється, коли ці закони використовуються для опису реалій. Визначаючи поняття «один і той самий» предмет, аксіоматики Т. необхідно впливають формування універсуму «всередині» відповідної аксіоматичної теорії.

Тарський А., Введення в логіку та методологію дедуктивних наук, пров. з англ., М., 1948; Новосьолов М., Тотожність, в кн.: Філософська енциклопедія, т. 5, М., 1970; його ж, Про деякі поняття теорії відносин, у кн.: Кібернетика та сучасне наукове пізнання, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Рівність, подібність, порядок, М., 1971; Кліні С. До., Математична логіка, пров. з англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

М. М. Новосьолов.

Вікіпедія

Тотожність (математика)

Тотожність(В математиці) - рівність , що виконується на всій безлічі значень змінних, що входять до нього, наприклад:

a − b = (a + b)(a − b) (a + b) = a + 2ab + b

і т. п. Іноді називають тотожністю також рівність, що не містить жодних змінних; напр. 25 = 625.

Тотожна рівність, коли її хочуть підкреслити особливо, позначається символом « ≡ ».

Тотожність

Тотожність, тотожність- Багатозначні терміни.

Тотожність - рівність, що виконується на всій безлічі значень змінних, що входять до нього.
Тотожність - повний збіг властивостей предметів.
Тотожність у фізиці - характеристика об'єктів, коли він заміна однієї з об'єктів іншим не змінює стан системи за збереження даних умов.
Закон тотожності – один із законів логіки.
Принцип тотожності - принцип квантової механіки, за яким стану системи частинок, що виходять одна з одної перестановкою тотожних частинок місцями, не можна розрізнити в жодному експерименті, і такі стану повинні розглядатися як один фізичний стан.
"Тотожність і дійсність" - книга Е. Мейєрсона.

Тотожність (філософія)

Тотожність- філософська категорія, що виражає рівність, однаковість предмета, явища із собою або рівність кількох предметів. Про предмети А і В говорять, що вони є тотожними, одними і тими самими, якщо і тільки якщо всі властивості. Це означає, що тотожність нерозривно пов'язана з різницею і є відносною. Будь-яке тотожність речей тимчасово, минуще, які розвиток, зміна абсолютно . У точних науках, однак, абстрактне, тобто відволікається від розвитку речей, тотожність відповідно до закону Лейбніца, використовується тому, що в процесі пізнання можливі та необхідні у відомих умовах ідеалізація та спрощення дійсності. З такими обмеженнями формулюється і логічний закон тотожності.

Тотожність слід відрізняти від подібності, подібності та єдності.

Подібними ми називаємо предмети, що володіють однією або декількома загальними властивостями; що більше у предметів загальних властивостей, то ближче їх схожість підходить до тотожності. Два предмети вважаються тотожними, якщо їх якості подібні.

Однак, слід пам'ятати, що у світі предметному тотожності бути не може, оскільки два предмети, хоч би якими вони були подібні за якостями, все ж таки відрізняються числом і займаним ними простором; лише там, де матеріальна природа підноситься до духовності, з'являється можливість тотожності.

Необхідна умова тотожності – це єдність: де немає єдності, не може бути і тотожності. Матеріальний світ, поділений до нескінченності, єдністю не має; єдність виникає з життям, особливо з духовним життям. Ми говоримо про тотожність організму тому, що його єдине життя перебуває, незважаючи на постійну зміну частинок, що утворюють організм; де є життя, там є єдність, але у справжньому значенні слова ще немає тотожності, оскільки життя убуває і прибуває, залишаючись незмінним лише ідеї.

Те ж саме можна сказати і про особистості- Вищий прояв життя і свідомості; й у особистості нами лише передбачається тотожність, насправді його немає, оскільки саме зміст особистості постійно змінюється. Справжнє тотожність можливе лише у мисленні; правильно освічене поняття має вічну цінність незалежно від умов часу та простору, у яких воно мислиться.

Лейбніц своїм principium indiscernibilium встановив думку, що неспроможні існувати дві речі цілком подібні у якісному і кількісному відносинах, оскільки така подібність було б чимось іншим, як тотожністю.

Філософія тотожності виступає центральною ідеєю у роботах Фрідріха Шеллінга.

Приклади вживання слова тотожність у літературі.

Саме в тому і полягає велика психологічна заслуга як древнього, так і середньовічного номіналізму, що він ґрунтовно розірвав первісне магічне чи містичне. тотожністьслова з об'єктом - надто ґрунтовно навіть для того типу, основа якого закладена не в тому, щоб міцно триматися за речі, а в тому, щоб абстрагувати ідею та ставити її над речами.

Це тотожністьсуб'єктивності та об'єктивності і становить якраз досягнуту тепер самосвідомістю загальність, що височіє над обома згаданими сторонами, або особливостями, і розчиняє їх у собі.

На цій стадії співвіднесені один з одним самосвідомі суб'єкти піднялися, отже, через зняття їх неоднакової особливості одиничності до свідомості їх реальної загальності - всім їм властивої свободи - і тим самим до споглядання певного тотожностіїх одне з одним.

Через півтора століття в них здивовано вдивлялася Інта, прапраправнучка жінки, якій поступився місцем у космічному кораблі Сарп, вражений її незрозумілим. тотожністюз Веллою.

Але коли виявилося, що перед смертю своєю гарний письменник Каманін читав рукопис саме КРАСНОГОРОВА і при цьому того самого, чия кандидатура обговорювалася лютим фізиком Шерстньовим за секунду до його, Шерстньова, подібної ж загибелі, - тут, знаєш, пахнуло вже на мене збігом, тут запахло ТОЧНОСТЬЮ!

Заслуга Клоссовскі в тому, що він показав: ці три форми тепер пов'язані навіки, але не завдяки діалектичній трансформації та тотожностіпротилежностей, а завдяки їхньому розсіянню по поверхні речей.

У цих своїх роботах Клоссовскі розвиває теорію знака, сенсу і нонсенсу, а також дає глибоко оригінальну інтерпретацію ідеї вічного повернення Ніцше, зрозумілого як ексцентрична здатність стверджувати розбіжності та диз'юнкції, що не залишає місця. тотожностіЯ ні тотожностісвіту, ні тотожностіБога.

Як і в будь-якому іншому виді ідентифікації людини за ознаками зовнішності, у фотопортретній експертизі об'єктом, що ідентифікується, у всіх випадках є конкретна фізична особа, тотожністьякого встановлюється.

Тепер з учня вийшов учитель, і перш за все як учитель впорався він з великим завданням першої пори свого магістерства, здобувши перемогу в боротьбі за авторитет і повне тотожністьлюдини та посади.

Але в ранній класиці це тотожністьмислячого і мислимого трактувалося лише інтуїтивно і описово.

Для Шелінгу тотожністьПрироди і Духа є натурфілософським принципом, що передує емпіричному пізнанню і детермінує розуміння результатів останнього.

На підставі цього тотожностімінеральних ознак і зроблено висновок, що ця шотландська формація сучасна найнижчим формаціям Валліса, тому що кількість наявних палеонтологічних даних занадто незначна, щоб за допомогою його можна було підтвердити або спростувати подібного становища.

Тепер уже не спочатку дає місце історичності, але сама тканина історичності виявляє необхідність першопочатку, яке було б одночасно і внутрішнім, і стороннім, на зразок якоїсь гіпотетичної вершини конуса, де всі відмінності, всі розсіювання, всі переривчастості стискаються в єдину точку. тотожності, в той безтілесний образ Тотожного, здатного, проте, розщепитися і перетворитися на Інше.

Відомо, що нерідкі випадки, коли об'єкт, що підлягає ототожнення по пам'яті, не має достатньої кількості помітних ознак, які б дозволили встановити його тотожність.

Зрозуміло, отже, що віч, чи повстань, у Москві людей, які хотіли втекти від татар, у Ростові на татар, у Костромі, Нижньому, Торжку на бояр, віч, скликаних всіма дзвонами, годі було, по одному тотожностіназви, змішувати з вічами Новгорода та інших старих міст: Смоленська, Києва, Полоцька, Ростова, де жителі, за словами літописця, як на думу, на віча сходилися і, що старші вирішували, на те пригороди погоджувалися.