Розкладання в ряд фур'є парних та непарних функцій нерівність безселя рівність парсевалю. Визначення коефіцієнтів ряду за формулами фур'є

Поруч Фур'єфункції f(x) на інтервалі (-π ; π) називається тригонометричний ряд виду:
, де

Поруч Фур'є функції f(x) на інтервалі (-l;l) називається тригонометричний ряд виду:
, де

Призначення. Онлайн калькулятор призначений для розкладання функції f(x) у Ряд Фур'є.

Для функцій модуля (наприклад, |x|), використовуйте розкладання по косинусах.

Правила введення функцій:

Для функцій модуля використовуйте розкладання по косинусах. Наприклад, для | x | необхідно запровадити функцію без модуля, тобто. x.

Ряд Фур'є шматково-безперервної, шматково-монотонної та обмеженої на інтервалі (- l;l) функції сходиться по всій числової осі.

Сума ряду Фур'є S(x) :

• є періодичною функцією з періодом 2 l. Функція u(x) називається періодичною з періодом T (або T-періодичною), якщо для всіх x області R, u(x+T)=u(x).
• на інтервалі (- l;l) збігається з функцією f(x), за винятком точок розриву
• у точках розриву (першого роду, тому що функція обмежена) функції f(x) і на кінцях інтервалу набуває середніх значень:

.
Говорять, що функція розкладається в ряд Фур'є на інтервалі (- l;l): .

Якщо f(x) – парна функція, то її розкладанні беруть участь лише парні функції, тобто b n=0.
Якщо f(x) – непарна функція, то її розкладанні беруть участь лише непарні функції, тобто а n=0

Поруч Фур'є функції f(x) на інтервалі (0; l) по косинусах кратних дуг називається ряд:
, де
.
Поруч Фур'є функції f(x) на інтервалі (0; l) за синусами кратних дуг називається ряд:
, де .
Сума ряду Фур'є за косинусами кратних дуг є парною періодичною функцією з періодом 2 l, що збігається з f(x) на інтервалі (0; l) у точках безперервності.
Сума ряду Фур'є за синусами кратних дуг є непарною періодичною функцією з періодом 2 l, що збігається з f(x) на інтервалі (0; l) у точках безперервності.
Ряд Фур'є для даної функції на даному інтервалі має властивість єдиності, тобто якщо розкладання отримано якимось іншим способом, ніж використання формул, наприклад, за допомогою підбору коефіцієнтів, ці коефіцієнти збігаються з обчисленими за формулами.

Приклад №1. Розкласти функцію f(x)=1:
а) у повний ряд Фур'є на інтервалі(-π ;π);
б) у ряд за синусами кратних дуг на інтервалі(0;π); побудувати графік отриманого ряду Фур'є
Рішення:
а) Розкладання до ряду Фур'є на інтервалі(-π;π) має вигляд:
,
причому всі коефіцієнти b n=0, т.к. дана функція – парна; таким чином,

Очевидно, рівність буде виконана, якщо прийняти
а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0
З огляду на властивості єдиності і є шукані коефіцієнти. Таким чином, шукане розкладання: чи просто 1=1.
У такому разі, коли ряд тотожно збігається зі своєю функцією, графік ряду Фур'є збігається з графіком функції на всій числовій прямій.
б) Розкладання на інтервалі (0;π) за синусами кратних дуг має вигляд:
Підібрати коефіцієнти те щоб рівність тотожно виконувалося, очевидно, неможливо. Скористаємося формулою для обчислення коефіцієнтів:


Таким чином, для парних n (n=2k) маємо b n=0, для непарних ( n=2k-1) -
Звісно, .
Побудуємо графік отриманого ряду Фур'є, скориставшись його властивостями (див. вище).
Насамперед, будуємо графік цієї функції на заданому інтервалі. Далі, скориставшись непарністю суми ряду, продовжуємо графік симетрично початку координат:

Продовжуємо періодично на всій числовій осі:


І нарешті, в точках розриву заповнюємо середні (між правим і лівим межею) значення:

Приклад №2. Розкласти функцію на інтервалі (0; 6) за синусами кратних дуг.
Рішення: Розкладання, що шукається, має вигляд:

Оскільки і ліва, і права частини рівності містять лише функції sin від різних аргументів, слід перевірити, чи збігаються при будь-яких значеннях n (натуральних!) аргументи синусів у лівій та правій частинах рівності:
або звідки n =18. Значить, такий доданок міститься у правій частині і коефіцієнт при ньому повинен збігатися з коефіцієнтом у лівій частині: b 18 =1;
або звідки n =4. Значить, b 4 =-5.
Таким чином, за допомогою підбору коефіцієнтів вдалося отримати розкладання.

Які вже добряче набридли. І я відчуваю, що настав момент, коли зі стратегічних запасів теорії настав час витягти нові консерви. Чи не можна розкласти функцію в ряд якось інакше? Наприклад, виразити відрізок прямої лінії через синуси та косинуси? Здається неймовірним, але такі, начебто, далекі одна від одної функції піддаються
"возз'єднання". Крім примелькавшихся ступенів у теорії та практиці існують інші підходи до розкладання функції в ряд.

На цьому уроці ми познайомимося з тригонометричним рядом Фур'є, торкнемося питання його збіжності та суми і, звичайно ж, розберемо численні приклади на розкладання функцій у ряді Фур'є. Щиро хотілося назвати статтю «Ряди Фур'є для чайників», але це було б лукавством, оскільки для вирішення завдань знадобляться знання інших розділів математичного аналізу та деякий практичний досвід. Тому преамбула нагадуватиме підготовку космонавтів =)

По-перше, до вивчення матеріалів сторінки слід підійти у відмінній формі. Виспалися, відпочили і тверезі. Без сильних емоцій з приводу зламаної лапи хом'ячка та нав'язливих думок про тягар життя акваріумних рибок. Ряд Фур'є не складний з погляду розуміння, проте практичні завдання вимагають просто підвищеної концентрації уваги – в ідеалі слід повністю відмовитися від зовнішніх подразників. Ситуація ускладнюється тим, що не існує легкого способу перевірки рішення та відповіді. Таким чином, якщо ваше самопочуття нижче середнього, то краще зайнятися чимось простим. Щоправда.

По-друге, перед польотом у космос необхідно вивчити панель приладів космічного корабля. Почнемо із значень функцій, які повинні клацатися на автоматі:

При будь-якому натуральному значенні:

1). І справді, синусоїда «прошиває» вісь абсцис через кожне «пі»:
. Що стосується негативних значень аргументу результат, звісно ж, буде таким же: .

2). А це знали не всі. Косинус «пі ен» є еквівалентом «мигалки»:

Негативний аргумент справи не змінює: .

Мабуть, достатньо.

І, по-третє, шановний загін космонавтів, необхідно вміти... інтегрувати.
Зокрема, впевнено підводити функцію під знак диференціалу, інтегрувати частинамиі бути в ладах з формулою Ньютона-Лейбніца. Почнемо важливі передпольотні вправи. Категорично не рекомендую пропускати, щоб потім не плющило у невагомості:

Приклад 1

Обчислити певні інтеграли

де набуває натуральних значень.

Рішення: інтегрування проводиться за змінною "ікс" і на даному етапі дискретна змінна "ен" вважається константою. У всіх інтегралах підводимо функцію під знак диференціалу:

Коротка версія рішення, до якої добре пристрілятися, виглядає так:

Звикаємо:

Чотири пункти, що залишилися, самостійно. Постарайтеся сумлінно поставитися до завдання та оформити інтеграли коротким способом. Зразки рішень наприкінці уроку.

Після якісного виконання вправ надягаємо скафандри
і готуємось до старту!

Розкладання функції у ряд Фур'є на проміжку

Розглянемо деяку функцію, яка визначенопринаймні на проміжку (а, можливо, і на більшому проміжку). Якщо ця функція інтегрована на відрізку , її можна розкласти в тригонометрический ряд Фур'є:
де – так звані коефіцієнти Фур'є.

При цьому число називають періодом розкладання, А число - напівперіодом розкладання.

Очевидно, що в загальному випадку ряд Фур'є складається з синусів та косінусів:

Дійсно, розпишемо його докладно:

Нульовий член низки прийнято записувати як .

Коефіцієнти Фур'є розраховуються за такими формулами:

Прекрасно розумію, що початківцям вивчати тему поки що малозрозумілі нові терміни: період розкладання, напівперіод, коефіцієнти Фур'єта ін Без паніки, це не порівняно з хвилюванням перед виходом у відкритий космос. У всьому розберемося в найближчому прикладі, перед виконанням якого логічно поставитися насущними практичними питаннями:

Що потрібно зробити в наведених нижче завданнях?

Розкласти функцію до ряду Фур'є. Додатково нерідко потрібно зобразити графік функції, графік суми ряду, часткової суми і у разі витончених професорських фантазій зробити щось ще.

Як розкласти функцію до ряду Фур'є?

По суті, потрібно знайти коефіцієнти Фур'єтобто скласти і обчислити три певних інтегралів.

Будь ласка, перепишіть загальний вигляд ряду Фур'є та три робочі формули до себе у зошит. Я дуже радий, що у деяких відвідувачів сайту прямо на моїх очах здійснюється дитяча мрія стати космонавтом.

Приклад 2

Розкласти функцію в ряд Фур'є на проміжку. Побудувати графік, графік суми ряду та часткової суми.

Рішення: перша частина завдання полягає у розкладанні функції в ряд Фур'є.

Початок стандартний, обов'язково записуємо, що:

У цьому завдання період розкладання, напівперіод.

Розкладемо функцію в ряд Фур'є на проміжку:

Використовуючи відповідні формули, знайдемо коефіцієнти Фур'є. Тепер потрібно скласти та обчислити три певних інтегралів. Для зручності я нумеруватиму пункти:

1) Перший інтеграл найпростіший, однак і він уже вимагає око та око:

2) Використовуємо другу формулу:

Цей інтеграл добре знайомий і береться він частинами:

При знаходженні використано метод підведення функції під знак диференціалу.

У розглянутому завданні зручніше відразу використовувати формулу інтегрування частинами у певному інтегралі :

Пара технічних зауважень. По-перше, після застосування формули весь вираз потрібно покласти у великі дужки, оскільки перед вихідним інтегралом є константа . Не втрачаємо її! Дужки можна розкрити на будь-якому подальшому кроці, я це зробив в останню чергу. У першому «шматку» виявляємо крайню акуратність у підстановці, як бачите, константа не при справах, і межі інтегрування підставляються у твір. Ця дія виділена квадратними дужками. Ну а інтеграл другого «шматка» формули вам добре знайомий із тренувального завдання;-)

І найголовніше – гранична концентрація уваги!

3) Шукаємо третій коефіцієнт Фур'є:

Отримано родича попереднього інтеграла, який теж інтегрується частинами:

Цей екземпляр трохи складніший, закоментую подальші дії покроково:

(1) Вираз повністю укладаємо у великі дужки. Не хотів здатися занудою, надто часто втрачають константу.

(2) У цьому випадку я негайно розкрив ці великі дужки. Особливу увагуприділяємо першому «шматку»: константа палить осторонь і бере участь у підстановці меж інтегрування ( і ) до твір . Через захаращеність запису цю дію знову доцільно виділити квадратними дужками. З другим «шматком» все простіше: тут дріб з'явився після розкриття великих дужок, а константа – внаслідок інтегрування знайомого інтеграла;-)

(3) У квадратних дужках проводимо перетворення, а правому інтегралі – підстановку меж інтегрування.

(4) Виносимо «мигалку» з квадратних дужок: після чого розкриваємо внутрішні дужки: .

(5) Взаємознищуємо 1 та –1 у дужках та проводимо остаточні спрощення.

Нарешті знайдено всі три коефіцієнти Фур'є:

Підставимо їх у формулу :

При цьому не забуваємо розділити навпіл. На останньому етапі константа («мінус два»), яка не залежить від «ен», винесена за межі суми.

Таким чином, ми отримали розкладання функції в ряд Фур'є на проміжку:

Вивчимо питання збіжності низки Фур'є. Я поясню теорію, зокрема теорему Діріхле, буквально «на пальцях», тому якщо вам необхідні суворі формулювання, будь ласка, зверніться до підручника з математичного аналізу (Наприклад, 2-й том Бохана; або 3-й том Фіхтенгольця, але в ньому важче).

У другій частині завдання потрібно зобразити графік, графік суми ряду та графік часткової суми.

Графік функції є звичайною пряму на площині, яка проведена чорним пунктиром:

Розбираємось із сумою ряду. Як ви знаєте, функціональні ряди сходяться до функцій. У нашому випадку побудований ряд Фур'є за будь-якого значення «ікс»зійдеться до функції, яка зображена червоним кольором. Ця функція терпить розриви 1-го родуу точках , але визначена і в них (червоні точки на кресленні)

Таким чином: . Легко бачити, що помітно відрізняється від вихідної функції саме тому в записі ставиться значок «тильда», а чи не знак рівності.

Вивчимо алгоритм, яким зручно будувати суму ряду.

На центральному інтервалі ряд Фур'є сходиться до функції (центральний червоний відрізок збігається з чорним пунктиром лінійної функції).

Тепер трохи поміркуємо про природу тригонометричного розкладання, що розглядається. У ряд Фур'є входять лише періодичні функції (константа, синуси та косинуси), тому сума ряду теж є періодичною функцією.

Що це означає у нашому конкретному прикладі? А це означає те, що сума ряду –неодмінно періодичнаі червоний відрізок інтервалу повинен нескінченно повторюватися ліворуч і праворуч.

Думаю, зараз остаточно прояснилося значення фрази «період розкладання». Спрощено кажучи, через кожну ситуацію знову і знову повторюється.

Насправді зазвичай досить зобразити три періоди розкладання, як і зроблено на кресленні. Ну і ще "обрубки" сусідніх періодів - щоб було зрозуміло, що графік продовжується.

Особливий інтерес представляють точки розриву 1-го роду. У таких точках ряд Фур'є сходить до ізольованих значень, які розташовані рівно посередині «стрибка» розриву (червоні крапки на кресленні). Як дізнатися ординату цих точок? Спочатку знайдемо ординату «верхнього поверху»: при цьому обчислимо значення функції у крайній правій точці центрального періоду розкладання: . Щоб обчислити ординату «нижнього поверху» найпростіше взяти крайнє ліве значення цього ж періоду: . Ордината середнього значення – це середня арифметична сума «верха і низу»: . Приємним є той факт, що при побудові креслення ви відразу побачите, чи правильно чи неправильно обчислено середину.

Побудуємо часткову суму низки і заразом повторимо сенс терміна «збіжність». Мотив відомий ще з уроку про сумі числового ряду. Розпишемо наше багатство докладно:

Щоб скласти часткову суму, необхідно записати нульовий + ще два члени ряду. Тобто,

На кресленні графік функції зображений зеленим кольором, і, як бачите, досить щільно «обвиває» повну суму. Якщо розглянути часткову суму з п'яти членів ряду , то графік цієї функції ще точніше наближатиме червоні лінії, якщо сто членів – то «зелений змій» фактично повністю зіллється з червоними відрізками тощо. Таким чином, ряд Фур'є сходиться до своєї суми.

Цікаво відзначити, що будь-яка часткова сума – це безперервна функція, проте повна сума ряду все ж таки розривна.

Насправді негаразд рідко потрібно побудувати і графік часткової суми. Як це зробити? У разі необхідно розглянути функцію на відрізку , обчислити її значення кінцях відрізка й у проміжних точках (що більше точок розглянете – то точніше буде графік). Потім слід зазначити дані точки на кресленні та акуратно зобразити графік на періоді, після чого «розтиражувати» його на сусідні проміжки. А як інакше? Адже наближення – це теж періодична функція… …щось мені її графік нагадує рівний ритм серця на дисплеї медичного приладу.

Виконувати побудову, звичайно, не дуже зручно, тому що і доводиться виявляти надакуратність, витримуючи точність не менше ніж до половини міліметра. Втім, читачів, які не в ладах із кресленням, порадую – у «реальному» завданні виконувати креслення потрібно далеко не завжди, десь у 50% випадків потрібно розкласти функцію до ряду Фур'є і все.

Після виконання креслення завершуємо завдання:

Відповідь:

Багато завдань функція терпить розрив 1-го родупрямо на періоді розкладання:

Приклад 3

Розкласти в ряд Фур'є функцію, задану на відрізку. Накреслити графік функції та повної суми ряду.

Запропонована функція задана кусковим чином (Причому, зауважте, тільки на відрізку)і терпить розрив 1-го родуу точці. Чи можна визначити коефіцієнти Фур'є? Без проблем. І ліва і права частини функції інтегруються на своїх проміжках, тому інтеграли у кожній із трьох формул слід подати у вигляді суми двох інтегралів. Подивимося, наприклад, як це робиться у нульового коефіцієнта:

Другий інтеграл дорівнював нулю, що зменшило роботи, але так буває далеко не завжди.

Аналогічно розписуються два інші коефіцієнти Фур'є.

Як зобразити суму ряду? На лівому інтервалі креслимо відрізок прямої, а на інтервалі – відрізок прямої (жирно-жирно виділяємо ділянку осі). Тобто, на проміжку розкладання сума ряду збігається з функцією скрізь, крім трьох «поганих» точок. У точці розриву функції ряд Фур'є зійдеться до ізольованого значення, яке розташовується посередині «стрибка» розриву. Його неважко побачити і усно: лівостороння межа: , правостороння межа: і очевидно, що ордината середньої точки дорівнює 0,5.

З огляду на періодичність суми , картинку необхідно «розмножити» на сусідні періоди, зокрема зобразити те саме на інтервалах і . При цьому, у точках ряд Фур'є зійдеться до серединних значень.

По суті, нічого нового тут немає.

Постарайтеся самостійно впоратися з цим завданням. Зразок чистового оформлення та креслення наприкінці уроку.

Розкладання функції ряд Фур'є на довільному періоді

Для довільного періоду розкладання, де «ель» – будь-яке позитивне число, формули ряду Фур'є та коефіцієнтів Фур'є відрізняються трохи ускладненим аргументом синуса та косинуса:

Якщо , то виходять формули проміжку , з яких ми починали.

Алгоритм та принципи вирішення задачі повністю зберігаються, але зростає технічна складність обчислень:

Приклад 4

Розкласти функцію в ряд Фур'є та побудувати графік суми.

Рішення: фактично аналог Прикладу № 3 с розривом 1-го родуу точці. У цьому завдання період розкладання, напівперіод. Функція визначена тільки на напівінтервалі, але це не змінює справи - важливо, що обидва шматки функції інтегруються.

Розкладемо функцію до ряду Фур'є:

Оскільки функція розривна на початку координат, то кожен коефіцієнт Фур'є очевидно слід записати у вигляді суми двох інтегралів:

1) Перший інтеграл розпишу максимально докладно:

2) Ретельно вдивляємось у поверхню Місяця:

Другий інтеграл беремо частинами:

На що слід звернути пильну увагу після того, як ми зірочкою відкриваємо продовження рішення?

По-перше, не втрачаємо перший інтеграл де відразу ж виконуємо підведення під знак диференціалу. По-друге, не забуваємо злощасну константу перед великими дужками та не плутаємось у знакахпри використанні формули . Великі дужки, все-таки зручніше розкривати відразу на наступному кроці.

Інша справа техніки, складнощі може викликати лише недостатній досвід розв'язання інтегралів.

Так, не дарма імениті колеги французького математика Фур'є обурювалися - як це той посмів розкладати функції тригонометричні ряди?! =) До речі, напевно, всім цікавий практичний зміст завдання. Сам Фур'є працював над математичною моделлю теплопровідності, а згодом ряд, названий його ім'ям став застосовуватися для вивчення багатьох періодичних процесів, яких у навколишньому світі мабуть-невидимо. Зараз, до речі, впіймав себе на думці, що не випадково порівняв графік другого прикладу з періодичним ритмом серця. Бажаючі можуть ознайомитись із практичним застосуванням перетворення Фур'єу сторонніх джерелах. …Хоча краще не треба – буде згадуватися, як Перше Кохання =)

3) Враховуючи слабкі ланки, що неодноразово згадувалися, розбираємося з третім коефіцієнтом:

Інтегруємо частинами:

Підставимо знайдені коефіцієнти Фур'є у формулу , не забуваючи поділити нульовий коефіцієнт навпіл:

Побудуємо графік суми низки. Коротко повторимо порядок дій: на інтервалі будуємо пряму, але в інтервалі – пряму . При нульовому значенні «ікс» ставимо крапку посередині «стрибка» розриву та «тиражуємо» графік на сусідні періоди:


На «стиках» періодів сума також дорівнюватиме серединам «стрибка» розриву.

Готово. Нагадую, що сама функція за умовою визначена лише на напівінтервалі та, очевидно, збігається із сумою ряду на інтервалах

Відповідь:

Іноді шматково-задана функція буває безперервна на періоді розкладання. Найпростіший зразок: . Рішення (Див. 2-й том Бохана)таке саме, як і двох попередніх прикладах: незважаючи на безперервність функціїу точці , кожен коефіцієнт Фур'є виражається сумою двох інтегралів.

На проміжку розкладання точок розриву 1-го родута/або точок «стику» графіка може бути і більше (дві, три і взагалі будь-яке кінцевекількість). Якщо функція інтегрована кожної частини, вона також розкладена до низки Фурье. Але з практичного досвіду таку жерсть щось не пригадую. Тим не менш, зустрічаються більш важкі завдання, ніж щойно розглянуте, і наприкінці статті для всіх бажаючих є посилання на ряди Фур'є підвищеної складності.

А поки розслабимося, відкинувшись у кріслах і споглядаючи безкраї зоряні простори:

Приклад 5

Розкласти функцію у ряд Фур'є на проміжку та побудувати графік суми ряду.

У цьому завданні функція безперервнана напівінтервалі розкладання, що полегшує рішення. Все дуже схоже на Приклад № 2. З космічного корабля нікуди не подітися – доведеться вирішувати =) Прикладний зразок оформлення наприкінці уроку графік додається.

Розкладання в ряд Фур'є парних та непарних функцій

З парними та непарними функціями процес вирішення завдання помітно спрощується. І ось чому. Повернемося до розкладання функції до ряду Фур'є на періоді «два пі» та довільному періоді «два ель» .

Припустимо, що наша функція парна. Загальний член ряду, як ви бачите, містить парні косинуси і непарні синуси. А якщо ми розкладаємо ЧЕТНУ функцію, то навіщо нам непарні синуси? Давайте обнулимо непотрібний коефіцієнт: .

Таким чином, парна функція розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах:

Оскільки інтеграли від парних функційпо симетричному щодо нуля відрізку інтегрування можна подвоювати, то спрощуються та інші коефіцієнти Фур'є.

Для проміжку:

Для довільного проміжку:

До хрестоматійних прикладів, які є практично в будь-якому підручнику з матаналізу, належать розкладання парних функцій . Крім того, вони неодноразово зустрічалися і в моїй особистій практиці:

Приклад 6

Дана функція. Потрібно:

1) розкласти функцію до низки Фур'є з періодом , де – довільне позитивне число;

2) записати розкладання на проміжку, побудувати функцію та графік повної суми ряду.

Рішення: у першому пункті пропонується вирішити завдання у загальному вигляді, і це дуже зручно! З'явиться потреба – просто підставте своє значення.

1) У цій задачі період розкладання, напівперіод. У ході подальших дій, зокрема під час інтегрування, «ель» вважається константою

Функція є парною, а значить, розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах: .

Коефіцієнти Фур'є шукаємо за формулами . Зверніть увагу на їхню безумовну перевагу. По-перше, інтегрування проводиться за позитивним відрізком розкладання, а значить, ми благополучно позбавляємося модуля , розглядаючи з двох шматків лише «ікс». І по-друге, помітно спрощується інтегрування.

Два:

Інтегруємо частинами:

Таким чином:
, у своїй константу , яка залежить від «ен», виносимо межі суми.

Відповідь:

2) Запишемо розкладання на проміжку, для цього в загальну формулу підставляємо потрібне значення напівперіоду:

Транскрипт

1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РФ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФІЗИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхєєва РЯДИ ФУР'Є У ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ Навчальний посібник1

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхєєва Р. К. Ряди Фур'є в прикладах та задачах: Навчальний посібник / Новосиб. держ. ун-т. Новосибірськ, с. ISBN У навчальному посібнику викладаються основні відомості про ряди Фур'є, наведено приклади на кожну тему, що вивчається. Детально розібраний приклад застосування методу Фур'є до розв'язання задачі про поперечні коливання струни. Наведено ілюстративний матеріал. Є завдання самостійного рішення. Призначений для студентів та викладачів фізичного факультету НГУ. Друкується у вирішенні методичної комісії фізичного факультету НГУ. Рецензент д-р фіз. наук. В. А. Александров Посібник підготовлений у рамках реалізації Програми розвитку НДУ-НГУ на пп. ISBN з Новосибірський державний університет, 211 з Бельхєєва Р. К., 211

3 1. Розкладання 2π-періодичної функції до ряду Фур'є Визначення. Поруч Фур'є функції f(x) називається функціональний ряд a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) де коефіцієнти an, bn обчислюються за формулами: an = 1 π bn = 1 π f(x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формули (2) (3) називають формулами Ейлера Фур'є. Той факт, що функції f(x) відповідає ряду Фур'є (1) записують у вигляді формули f(x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) і кажуть, що права частина формули (4) є формальним рядом Фур'є функції f(x). Інакше кажучи, формула (4) означає лише те, що коефіцієнти a n, b n знайдено за формулами (2), (3). 3

4 Визначення. 2π-періодична функція f(x) називається шматково-гладкою, якщо в проміжку [, π] знайдеться кінцеве число точок = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Мал. 1. Графік функції f(x) Обчислимо коефіцієнти Фур'є a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, при n непарному, при n парному, f(x ) sin nxdx =, тому що функція f(x) парна. Запишемо формальний ряд Фур'є для функції f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Чи з'ясовано, чи функція f(x) кусочно-гладкой. Так як вона безперервна, обчислимо тільки межі (6) в кінцевих точках проміжку x = ±π і в точці зламу x = : і f (π h) f (π) π h π f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + hh + hf(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f(h) f () h () lim = lim = 1. h + hh + h Межі існують і кінцеві, отже, функція шматково-гладка. За теоремою про крапкову збіжність її ряд Фур'є сходиться до f(x) у кожній точці, тобто f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) На рис. 2, 3 показаний характер наближення часткових сум ряду Фур'є S n (x), де S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k=1 до функції f(x) у проміжку [, π] . 6

7 Мал. 2. Графік функції f(x) з накладеними на нього графіками часткових сум S(x) = a 2 та S 1(x) = a 2 + a 1 cos x Рис. 3. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Підставивши в (7) x = отримаємо: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, звідки ми знаходимо суму числового ряду: = π2 8. Знаючи суму цього ряду, легко знайти наступну суму Маємо: S = ( ) S = () = π S, отже S = π2 6, тобто 1 n = π Суму цього знаменитого ряду вперше знайшов Леонард Ейлер. Вона часто зустрічається в математичному аналізі та його додатках. ПРИКЛАД 2. Намалюємо графік, знайдемо ряд Фур'є функції заданою формулою f(x) = x для x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Мал. 4. Графік функції f(x) Функція f(x) безперервно диференційована на проміжку (, π). У точках x = ±π вона має кінцеві межі (5): f() =, f(π) = π. Крім того, існують кінцеві межі (6): f(+ h) f(+) lim = 1 і h + hf(π h) f(π +) lim = 1. h + h Значить, f(x) шматково-гладка функція. Оскільки функція f(x) непарна, то a n =. Коефіцієнти bn знаходимо інтегруванням частинами: bn = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1)n+ 1. n Складемо формальний ряд Фур'є функції 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Відповідно до теореми про поточкову збіжність шматково-гладкої 2π-періодичної функції ряд Фур'є функції f(x) сходить до суми: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, якщо π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Мал. 6. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S2(x) Рис. 7. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 3 (x) 11

12 Мал. 8. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) Використовуємо отриманий ряд Фур'є для знаходження сум двох числових рядів. Покладемо (8) x = π/2. Тоді 2 () + ... = π 2, або = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Ми легко знайшли суму відомого ряду Лейбниця. Поклавши в (8) x = π/3, знайдемо () +... = π 2 3, або (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 ПРИКЛАД 3. Намалюємо графік, знайдемо ряд Фур'є функції f(x) = sin x, припускаючи, що вона має період 2π, і 1 обчислимо суму числового ряду 4n 2 1. Рішення. Графік функції f(x) наведено на рис. 9. Очевидно, f(x) = sin x безперервна парна функція із періодом π. Але 2π також є періодом функції f(x). Мал. 9. Графік функції f(x) Обчислимо коефіцієнти Фур'є. Усі b n = тому, що функція парна. Користуючись тригонометричними формулами, обчислимо an при n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1, якщо n = 2k, = π n 2 1, якщо n = 2k

14 Це обчислення не дозволяє нам знайти коефіцієнт a 1, тому що при n = 1 знаменник перетворюється на нуль. Тому обчислимо коефіцієнт a 1 безпосередньо: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Так як f(x) безперервно диференційована на (,) і (, π) і в точках kπ, (k ціле число), існують кінцеві межі (5) і (6), то ряд Фур'є функції сходиться до неї в кожній точці: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Рис. 1. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S(x) 14

15 Мал. 11. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S1(x) Рис. 12. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S2(x) Рис. 13. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) 15

16 1 Обчислимо суму числового ряду. Для цього 4n 2 1 покладемо (9) x =. Тоді cosnx = 1 для всіх n = 1, 2, ... і Отже, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ПРИКЛАД 4. Доведемо, що якщо шматково-гладка безперервна функція f(x) задовольняє умову f(x π) = f(x) для всіх x (тобто є π-періодичною) , a 2n 1 = b 2n 1 = для всіх n 1, і навпаки, якщо a 2n 1 = b 2n 1 = для всіх n 1, то f(x) π-періодична. Рішення. Нехай функція f(x) є π-періодичною. Обчислимо її коефіцієнти Фур'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) cos (2n 1) xdx. У першому інтегралі зробимо заміну змінної x = t π: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Користуючись тим, що cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t і f(t π) = f(t), отримаємо: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos(2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Аналогічно доводиться, що b 2n 1 =. Навпаки, нехай a 2n 1 = b 2n 1 =. Так як функція f(x) безперервна, то за теоремою про уявність функції в точці своїм рядом Фур'є маємо тоді f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), що означає, що f(x) є π-періодичною функцією. ПРИКЛАД 5. Доведемо, що якщо шматково-гладка функція f(x) задовольняє умові f(x) = f(x) для всіх x, то a = і a 2n = b 2n = для всіх n 1, і навпаки, якщо a = a 2n = b 2n =, то f(x π) = f(x) всім x. Рішення. Нехай функція f(x) задовольняє умову f(xπ) = f(x). Обчислимо її коефіцієнти Фур'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. У першому інтегралі зробимо заміну змінної x = t π. Тоді f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Користуючись тим, що cos n(t π) = (1) n cosnt та f(t π) = f(t), отримаємо: an = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt =, якщо n парне = 2 π f(t) cos nt dt, якщо n непарне. π Аналогічно доводиться, що b 2n =. Навпаки, нехай a = a 2n = b 2n =, для всіх n 1. Так як функція f(x) безперервна, то за теоремою про уявність функція в точці своїм рядом Фур'є справедливо рівність f(x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18

19 Тоді = f(x π) = = = f(x). ПРИКЛАД 6. Вивчимо як слід продовжити інтегровану на проміжку [, π/2] функцію f(x) на проміжок [, π], щоб її ряд Фур'є мав вигляд: a 2n 1 cos(2n 1)x. (1) Рішення. Нехай графік функції має вигляд, наведений на рис. 14. Оскільки в ряді (1) a = a 2n = b 2n = для всіх n, то з прикладу 5 випливає, що функція f(x) повинна задовольняти рівність f(xπ) = f(x) для всіх x. Це спостереження дає спосіб продовження функції f(x) проміжок [, /2] : f(x) = f(x+π), рис. 15. З того, що ряд (1) містить тільки косинуси, укладаємо, що продовжена функція f(x) має бути парною (тобто її графік має бути симетричним щодо осі Oy), рис

20 Мал. 14. Графік функції f(x) Мал. 15. Графік продовження функції f(x) на проміжок [, /2] 2

21 Отже, потрібна функція має вигляд, наведений на рис. 16. Мал. 16. Графік продовження функції f(x) на проміжок [, π] Підсумовуючи, укладаємо, що функцію слід продовжити наступним чином: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), тобто на проміжку [π/2, π], графік функції f(x) центрально симетричний щодо точки (π/2,), а на проміжку [, π] її графік симетричний щодо осі Oy. 21

22 УЗАГАЛЬНІСТЬ ПРИКЛАДІВ 3 6 Нехай l >. Розглянемо дві умови: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x[, l/2]. З геометричної точки зору умова (а) означає, що графік функції f(x) симетричний щодо вертикальної прямої x = l/2, а умова (б) що графік f(x) центрально симетричний щодо точки (l/2;) на осі абсцис. Тоді справедливі такі твердження: 1) якщо функція f(x) парна та виконана умова (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... =; 2) якщо функція f(x) парна та виконана умова (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... =; 3) якщо функція f(x) непарна та виконана умова (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) якщо функція f(x) непарна та виконана умова (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАВДАННЯ У задачах 1 7 намалюйте графіки та знайдіть ряди Фур'є для функцій, ( припускаючи, що вони мають період 2π:, якщо< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, якщо /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Розкладання функції, заданої в проміжку [, π], тільки за синусами або тільки за косинусами Нехай функція f задана в проміжку [, π]. Бажаючи розкласти її в цьому проміжку до ряду Фур'є, ми спочатку продовжимо f у проміжок [, π] довільним чином, а потім скористаємося формулами Ейлера Фур'є. Свавілля у продовженні функції призводить до того, що для однієї й тієї ж функції f: [, π] R ми можемо отримувати різні ряди Фур'є. Але можна використовувати це свавілля так, щоб отримати розкладання тільки за синусами або тільки по косинусах: у першому випадку достатньо продовжити f непарним чином, а по-друге парним. Алгоритм рішення 1. Продовжити функцію непарним (парним) чином (,), а потім періодично з періодом 2π продовжити функцію на всю вісь. 2. Обчислити коефіцієнти Фур'є. 3. Скласти ряд Фур'є функції f(x). 4. Перевірити умови збіжності низки. 5. Вказати функцію, до якої сходитиметься цей ряд. ПРИКЛАД 7. Розкладемо функцію f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Мал. 17. Графік продовженої функції Очевидно, що функція f(x) шматково-гладка. Обчислимо коефіцієнти Фур'є: a n = всім n тому, що функція f (x) непарна. Якщо n 1, то bn = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, якщо n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1) (n 1) 2 2n, якщо n = 2k. π n 2 1 При n = 1 у попередніх обчисленнях знаменник звертається в нуль, тому коефіцієнт b 1 обчислимо безпосеред- 25

26 сно: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Складемо ряд Фур'є функції f(x): f(x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Оскільки функція f (x) шматково-гладка, то за теоремою про крапкову збіжність ряд Фур'є функції f (x) сходить до суми: cosx, якщо π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Мал. 18. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S1(x) Рис. 19. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 2 (x) 27

28 Мал. 2. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S3(x) На рис. 21 наведено графіки функції f (x) та її часткової суми S 99 (x). Мал. 21. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) 28

29 ПРИКЛАД 8. Розкладемо функцію f(x) = e ax, a >, x [, π], до ряду Фур'є тільки по косинусах. Рішення. Продовжимо функцію парним чином (,) (тобто, щоб рівність f(x) = f(x) виконувалося всім x (, π)), та був періодично з періодом 2π протягом усього числову вісь. Отримаємо функцію f(x), графік якої представлений на рис. 22. Функція f (x) у точках Мал. 22. Графік продовженої функції f(x) x = kπ, k ціле число, що має злами. Обчислимо коефіцієнти Фур'є: b n =, оскільки f(x) парна. Інтегруючи частинами отримуємо 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxd a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Отже, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Оскільки f(x) безперервна, то згідно з теоремою про поточну збіжність її ряд Фур'є сходиться до f(x). Отже, всім x [, π] маємо f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Рис демонструють поступове наближення часткових сум ряду Фур'є до заданої функції розриву. 3

31 Мал. 23. Графіки функцій f(x) та S(x) Мал. 24. Графіки функцій f(x) та S1(x) Мал. 25. Графіки функцій f(x) та S2(x) Мал. 26. Графіки функцій f(x) та S 3(x) 31

32 Мал. 27. Графіки функцій f(x) та S4(x) Мал. 28. Графіки функцій f (x) і S 99 (x) ЗАВДАННЯ 9. Розкладіть функцію f(x) = cos x, x π, в ряд Фур'є тільки по косинусах. 1. Розкладіть функцію f(x) = e ax, a >, x π, до ряду Фур'є тільки за синусами. 11. Розкладіть функцію f(x) = x 2, x π, до ряду Фур'є тільки за синусами. 12. Розкладіть функцію f(x) = sin ax, x π, у ряд Фур'є по тільки косинусах. 13. Розкладіть функцію f(x) = x sin x, x π, до ряду Фур'є тільки за синусами. Відповіді 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Якщо a не є цілим числом, sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; якщо a = 2m парне число, то sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; якщо a = 2m 1 позитивне непарне число, то sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Ряд Фур'є функції з довільним періодом Припустимо, що функція f(x) задана в проміжку [l, l], l>. Зробивши підстановку x = ly, y π, отримаємо функцію g(y) = f(ly/π), визначену у проміжку π [, π]. Цій функції g(y) відповідає (формальний) ряд Фур'є () ly f = g(y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), коефіцієнти якого знаходяться за формулами Ейлера Фур'є: an = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 bn = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π Повертаючись до старої змінної, тобто вважаючи у виписаних формулах y = πx/ l, ми отримаємо для функції f(x) тригонометричний ряд дещо зміненого вигляду: де f(x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Кажуть, що формули (11) (13) задають розкладання ряд Фур'є функції з довільним періодом. ПРИКЛАД 9. Знайдемо ряд Фур'є функції, заданої в проміжку (l, l) виразом (A, якщо l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf(x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, якщо n, ll A sin πnx lf(x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Складемо ряд Фур'є функції f(x) : f(x) A + B π (B A Оскільки cosπn = (1) n, то n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l при n = 2k отримуємо b n = b 2k =, при n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(BA) π(2k 1).

36 Звідси f(x) A + B (BA) ? якщо l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Мал. 29. Графік функції f(x) з накладеними на нього графіками гармонік S(x) = a 2 та S 1(x) = b 1 sinx. Для наочності графіки трьох вищих гармонік S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l та S 7 (x) = b 7 sin 7πx зсунуті по вертикалі вгору l 37

38 Мал. 3. Графік функції f(x) із накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) Рис. 31. Фрагмент рис. 3 в іншому масштабі 38

39 ЗАВДАННЯ У задачах розкласти в ряди Фур'є зазначені функції у заданих проміжках. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1, якщо 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f(x) = α 2) l б) f(x) = 4al(1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. а) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... б) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Комплексна форма ряду Фур'є Розкладання f(x) = cne inx, де cn = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., називається комплексною формою ряду Фур'є. Функція розкладається в комплексний ряд Фур'є при виконанні тих же умов, за яких вона розкладається в речовий ряд Фур'є. 4

41 ПРИКЛАД 1. Знайдемо ряд Фур'є у комплексній формі функції, заданої формулою f(x) = e ax, у проміжку [, π), де a речове число. Рішення. Обчислимо коефіцієнти: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Комплексний ряд Фур'є функції f має вигляд f(x) sh aπ n = (1) n a in einx. Переконаємося, що функція f(x) є кусково-гладкою: у проміжку (, π) вона безперервно диференційована, і в точках x = ±π існують кінцеві межі (5), (6) lim h + ea(+h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, ea(+h) ea(+) lim h + h = ae aπ ea(π h) ea(π), lim h + h = ae aπ. Отже, функція f(x) представлена ​​поруч Фур'є sh aπ π n= (1) n a in einx, який сходить до суми: ( e S(x) = ax, якщо π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ПРИКЛАД 11. Знайдемо ряд Фур'є у комплексній та речовій формі функції, заданої формулою f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, де a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Нагадаємо, що сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Тепер знайдемо ряд Фур'є у речовій формі. Для цього згрупуємо доданки з номерами n та n для n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Оскільки c = 1, то 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Це ряд Фур'є у речовинній формі функції f(x). Таким чином, не обчисливши жодного інтеграла, ми знайшли низку Фур'є функції. При цьому ми вирахували важкий інтеграл, що залежить від параметра cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(zz 1) f(x) = 2i (1 a(zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (za)(za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Кожний із простих дробів розкладемо за формулою геометричної прогресії: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n= Це можливо, оскільки az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, або, коротше, c n = 1 2i a n sgnn. Тим самим, ряд Фур'є у комплексній формі знайдено. Згрупувавши доданки з номерами n і n отримаємо ряд Фур'є функції в речовинній формі: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx. Знову нам вдалося вирахувати наступний складний інтеграл: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ЗАВДАННЯ 24. Використовуючи (15), обчисліть інтеграл cos nxdx 1 2a cosx + a 2 для речовинних a, a > Використовуючи (16), обчисліть інтеграл sin x sin nxdx для речовинних a, a > a cosx + a2 У задачах знайдіть ряди Фур'є у комплексній формі для функцій. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Рівність Ляпунова Теорема (рівність Ляпунова). Нехай функція f: [, π] R така, що f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Тому рівність Ляпунова для функції f(x) набуває вигляду: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. З останньої рівності для a π знаходимо sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Вважаючи a = π 2, отримуємо sin2 na = 1 при n = 2k 1 і sin 2 na = при n = 2k. Отже, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ПРИКЛАД 14. Напишемо рівність Ляпунова для функції f(x) = x cosx, x [, π], і знайдемо з його допомогою суму числового ряду (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Рішення. Прямі обчислення дають = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Оскільки f(x) парна функція, то для всіх n маємо bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1)x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 nk π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 якщо n = 2k, 2, якщо n = 2k + 1. Коефіцієнт a 1 необхідно обчислити окремо, оскільки в загальній формулі при n = 1 знаменник дробу звертається в нуль. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Таким чином, рівність Ляпунова для функції f(x) має вигляд: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , звідки знаходимо суму числового ряду (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π ЗАВДАННЯ 32. Напишіть рівність Ляпунова для функції ( xf(x) = 2 πx, якщо x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= cndn, де cn коефіцієнт Фур'є 2π функції f(x), а dn коефіцієнт Фур'є функції g(x). 6. Диференціювання рядів Фур'є Нехай f: R R безперервно диференційована 2π-періодична функція. Її ряд Фур'є має вигляд: f(x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Похідна f(x) цієї функції буде безперервною та 2π-періодичною функцією, для якої можна записати формальний ряд Фур'є: f(x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), де a, an, bn, n = 1 , 2,... коефіцієнти Фур'є функції f(x). 51

52 Теорема (про почленное диференціювання рядів Фур'є). При зроблених припущеннях справедливі рівності a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИКЛАД 15. Нехай шматково-гладка функція f(x) безперервна в проміжку [, π]. Доведемо, що з виконанні умови f(x)dx = має місце нерівність 2 dx 2 dx, зване нерівністю Стеклова, і переконаємося, що рівність у ньому здійснюється лише функцій виду f(x) = A cosx. Іншими словами, нерівність Стеклова дає умови, при виконанні яких з трохи похідної (в середньоквадратичному) слід трохи функції (у середньоквадратичному). Рішення. Продовжимо функцію f(x) на проміжок [,] парним чином. Позначимо продовжену функцію тим самим символом f(x). Тоді продовжена функція буде безперервною та шматково-гладкою на відрізку [, π]. Так як функція f(x) безперервна, то f 2 (x) безперервна на відрізку і 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Оскільки продовжена функція парна, то b n =, a = за умовою. Отже, рівність Ляпунова набуває вигляду 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Переконаємося, що для f(x) виконується висновок теореми про почлене диференціювання ряду Фур'є, тобто a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Нехай похідна f (x) зазнає зламів у точках x 1, x 2,..., x N у проміжку [, π]. Позначимо x = x N+1 = π. Розіб'ємо проміжок інтегрування [, π] на N +1 проміжок (x, x 1),..., (x N, x N+1), кожному з яких f(x) безупинно диференційована. Тоді, використовуючи властивість адитивності інтеграла, а потім інтегруючи частинами, отримаємо: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = x j + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = x j + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x(x) 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Остання рівність має місце через те, що функція f(x) була продовжена парним чином, а значить f(π) = f(). Аналогічно отримаємо an=nbn. Ми показали, що теорема про почленное диференціювання рядів Фур'є для безперервної шматково-гладкої 2π-періодичної функції, похідна якої у проміжку [, π] зазнає розривів першого роду, вірна. Отже f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, оскільки a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, .... Оскільки 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Так як кожен член ряду (18) більше або дорівнює відповідного члена ряду (17), то 2 dx 2 dx. Згадуючи, що f(x) є парним продовженням вихідної функції, маємо 2 dx 2 dx. Що й доводить рівність Стеклова. Тепер досліджуємо яких функцій у нерівності Стеклова має місце рівність. Якщо хоч для одного n 2 коефіцієнт a n відмінний від нуля, то a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАВДАННЯ 37. Нехай шматково-гладка функція f(x) неперервна в проміжку [, π]. Доведіть, що при виконанні умови f() = f(π) = має місце нерівність 2 dx 2 dx, яка також називається нерівністю Стеклова, і переконайтеся, що рівність у ній має місце лише для функцій виду f(x) = B sin x. 38. Нехай функція f безперервна в проміжку [, π] і має в ньому (за винятком хіба що кінцевого числа точок) похідну f (x), що інтегрується з квадратом. Доведіть, що якщо при цьому виконані умови f() = f(π) і f(x) dx =, то має місце нерівність 2 dx 2 dx, яка називається нерівністю Віртингера, причому рівність у ньому має місце лише для функцій виду f(x ) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Застосування рядів Фур'є на вирішення диференціальних рівнянь у приватних похідних При вивченні реального об'єкта (явлення природи, виробничого процесу, системи управління тощо.) істотними виявляються два чинника: рівень накопичених знань про об'єкт, що досліджується, і ступінь розвитку математичного апарату. На етапі наукових досліджень виробився такий ланцюжок: явище фізична модель математична модель. Фізична постановка (модель) завдання полягає в наступному: виявляються умови розвитку процесу та головні фактори, що на нього впливають. Математична постановка (модель) полягає в описі обраних у фізичній постановці факторів та умов у вигляді системи рівнянь (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних та ін.). Завдання називається коректно поставленим, якщо у певному функціональному просторі рішення задачі існує, єдино і безперервно залежить від початкових та граничних умов. Математична модель не буває тотожною об'єкту, що розглядається, а є його наближеним описом. Висновок рівняння вільних малих поперечних коливань струни. Нехай кінці струни закріплені, а сама струна туго напнута. Якщо вивести струну з положення рівноваги (наприклад, відтягнути або вдарити по ній), то струна почне 57

58 вагатися. Припускатимемо, що всі точки струни рухаються перпендикулярно її положенню рівноваги (поперечні коливання), причому в кожний момент часу струна лежить в одній і тій же площині. Візьмемо у цій площині систему прямокутних координат xou. Тоді, якщо в початковий момент часу t = струна розташовувалася вздовж осі Ox, то u означатиме відхилення струни від положення рівноваги, тобто положення точки струни з абсцисою x в довільний момент часу t відповідає значення функції u(x, t). При кожному фіксованому значенні t графік функції u(x, t) представляє форму струни, що коливається, в момент часу t (рис. 32). При постійному значенні x функція u(x, t) дає закон руху точки з абсцисою x уздовж прямої, паралельної осі Ou, похідна t швидкість цього руху, а друга похідна 2 u t 2 прискорення. Мал. 32. Сили, прикладені до нескінченно малої ділянки струни Складемо рівняння, якому має задовольняти функція u(x, t). Для цього зробимо ще кілька припущень, що спрощують. Вважатимемо струну абсолютно ги- 58

59 кой, тобто вважатимемо, що струна не пручається вигину; це означає, що напруги, що виникають у струні, завжди спрямовані по дотичних до її миттєвого профілю. Струна передбачається пружною і підкоряється закону Гука; це означає, що зміна величини сили натягу пропорційно до зміни довжини струни. Приймемо, що однорідна струна; це означає, що її лінійна густина ρ постійна. Зовнішніми силами ми нехтуємо. Це означає, що ми розглядаємо вільні коливання. Ми вивчатимемо лише малі коливання струни. Якщо позначити через ϕ(x, t) кут між віссю абсцис і дотичної до струни в точці з абсцисою x в момент часу t, то умова дещиці коливань полягає в тому, що величиною ϕ 2 (x, t) можна нехтувати порівняно з ϕ (x, t), тобто ϕ 2. Так як кут ϕ малий, то cosϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ і отже, величиною (uxx,) 2 також можна нехтувати. Звідси відразу випливає, що в процесі коливання можемо знехтувати зміною довжини будь-якої ділянки струни. Дійсно, довжина шматочка струни M 1 M 2, що проектується в проміжок осі абсцис, де x 2 = x 1 + x, дорівнює l = x 2 x () 2 u dx x. x Покажемо, що за наших припущень величина сили натягу T буде постійною вздовж усієї струни. Візьмемо для цього якусь ділянку струни M 1 M 2 (рис. 32) в момент часу t і замінимо дію відкинутих участю- 59

60 ків силами натягу T 1 і T 2. Оскільки за умови всі точки струни рухаються паралельно осі Ou і зовнішні сили відсутні, то сума проекцій сил натягу на вісь Ox повинна дорівнювати нулю: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Звідси через малості кутів ϕ 1 = ϕ(x 1, t) і ϕ 2 = ϕ(x 2, t) укладаємо, що T 1 = T 2. Позначимо загальне значення T 1 = T 2 через T. Тепер обчислимо суму проекцій F u цих сил на вісь Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Оскільки для малих кутів sin ϕ(x, t) tg ? T (tg ϕ(x 2, t) tg ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2(x 1, t) x . Оскільки точка x 1 обрана довільно, то F u T 2 u x2(x, t) x. Після того, як знайдено всі сили, що діють на ділянку M 1 M 2, застосуємо до нього другий закон Ньютона, згідно з яким добуток маси на прискорення дорівнює сумі всіх діючих сил. Маса шматочка струни M 1 M 2 дорівнює m = ρ l ρ x, а прискорення дорівнює 2 u(x, t). Рівняння t 2 Ньютона набуває вигляду: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, де α 2 = T ρ постійне позитивне число. 6

61 Скорочуючи на x, отримаємо 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В результаті ми отримали лінійне однорідне диференціальне рівняння з приватними похідними другого порядку з постійними коефіцієнтами. Його називають рівнянням коливань струни чи одновимірним хвильовим рівнянням. Рівняння (21) є переформулюванням закону Ньютона і описує рух струни. Але у фізичній постановці завдання були вимоги про те, що кінці струни закріплені і положення струни в якийсь час відомо. Рівняннями ці умови записуватимемо так: а) вважатимемо, що кінці струни закріплені в точках x = і x = l, тобто вважатимемо, що для всіх t виконані співвідношення u(, t) =, u(l, t ) = ; (22) б) вважатимемо, що у момент часу t = положення струни збігається з графіком функції f(x), тобто вважатимемо, що для всіх x [, l] виконано рівність u(x,) = f( x); (23) в) вважатимемо, що в момент часу t = точці струни з абсцисою x надано швидкість g(x), тобто вважатимемо, що u(x,) = g(x). (24) t Співвідношення (22) називаються граничними умовами, а співвідношення (23) та (24) називаються початковими умовами. Математична модель вільних малих поперечних 61

62 коливань струни полягає в тому, що треба вирішити рівняння (21) з граничними умовами (22) і початковими умовами (23) і (24) Рішення рівняння вільних малих поперечних коливань струни методом Фур'є Розв'язання рівняння (21) в області x l,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Підставляючи (25) (21), отримаємо: X T = α 2 X T, (26) або T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Кажуть, що стався поділ змінних. Так як x і t не залежать один від одного, то ліва частина (27) не залежить від x, а права від t і загальна величина цих відносин 62

63 має бути постійною, яку позначимо через λ: T(t) α 2 T(t) = X(x) X(x) = λ. Звідси отримуємо два звичайні диференціальні рівняння: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При цьому граничні умови (22) набудуть вигляду X()T(t) = і X(l)T(t) =. Оскільки вони мають виконуватися всім t, t >, то X() = X(l) =. (3) Знайдемо рішення рівняння (28), яке б задовольняло граничним умовам (3). Розглянемо три випадки. Випадок 1: >. Позначимо λ = β 2. Рівняння (28) набуває вигляду X (x) β 2 X(x) =. Його характеристичне рівняння k 2 β 2 = має коріння k = ±β. Отже, загальне рішення рівняння (28) має вигляд X(x) = C e βx + De βx. Ми повинні підібрати постійні C і D так, щоб дотримувалися граничних умов (3), тобто X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Оскільки β, ця система рівнянь має єдине рішення C = D =. Отже, X(x) та 63

64 u(x, t). Тим самим, у випадку 1 ми отримали тривіальне рішення, яке далі не розглядатимемо. Випадок 2: λ =. Тоді рівняння (28) набуває вигляду X (x) = і його рішення, очевидно, задається формулою: X(x) = C x+d. Підставляючи це рішення у граничні умови (3), отримаємо X() = D = і X(l) = Cl =, отже, C = D =. Отже, X(x) та u(x, t), і ми знову отримали тривіальне рішення. Випадок 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Надалі надаватимемо n тільки позитивні значення n = 1, 2,..., оскільки при негативних n будуть виходити рішення того (ж виду. nπ) Величини λ n = називаються власними числами, а функції X n (x) = C n sin πnx власними функціями диференціального рівняння (28) з крайовими умовами (3). Тепер розв'яжемо рівняння (29). Для нього характеристичне рівняння має вигляд k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Оскільки вище ми з'ясували, що нетривіальні рішення X(x) рівняння (28) є лише для негативних λ, рівних λ = n2 π 2, то саме такі λ ми і розглядатимемо далі. Коріння рівняння (32) є k = ±iα λ, а рішення рівняння (29) мають вигляд: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l де A n і B n довільні постійні. Підставляючи формули (31) і (33) в (25), знайдемо приватні рішення рівняння (21), що задовольняють крайовим умовам (22): πnx. lll Вносячи множник C n у дужку і вводячи позначення C n A n = bn та B n C n = an, запишемо un (X, T) у вигляді (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx. (34) l l l 65

66 Коливання струни, що відповідають рішенням u n (x, t), називаються власними коливаннями струни. Оскільки рівняння (21) і граничні умови (22) лінійні та однорідні, то лінійна комбінація рішень (34) (u(x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) lll буде рішенням рівняння (21) ), що задовольняє граничним умовам (22) при спеціальному виборі коефіцієнтів an і bn, що забезпечує рівномірну збіжність ряду. Тепер підберемо коефіцієнти an і bn рішення (35) так, щоб воно задовольняло не тільки граничним, а й початковим умовам (23) та (24), де f(x), g(x) задані функції (причому f() = f (l) = g() = g(l) =). Вважаємо, що функції f(x) і g(x) задовольняють умовам розкладання до низки Фур'є. Підставляючи (35) значення t =, отримаємо u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Диференціюючи ряд (35) по t і підставляючи t =, отримаємо u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), а це є розкладання функцій f(x) і g(x) до лав Фур'є. Отже, a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Підставляючи вирази для коефіцієнтів a n і b n до ряду (35), ми отримаємо рішення рівняння (21), що задовольняє граничним умовам (22) та початковим умовам (23) і (24). Тим самим ми вирішили завдання про вільні малі поперечні коливання струни. З'ясуємо фізичний зміст власних функцій u n (x, t) задачі про вільні коливання струни, визначені формулою (34). Перепишемо її у вигляді де n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n З формули (37) видно, що всі точки струни здійснюють гармонійні коливання з однією і тією ж частотою ω n = πnα і фазою πnα δ n. Амплітуда коливання залежить від l l абсциси x точки струни і дорівнює α n sin πnx. При такому коливанні всі точки струни одночасно досягають свого максимального відхилення в ту чи іншу сторону і одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання називають стоячими хвилями. Стояча хвиля матиме n + 1 нерухому точку, що задається корінням рівняння sin πnx = у проміжку [, l]. Нерухомі точки називаються вузлами стоячої хвилі. Посередині між вузлами розташовуються точки, в яких відхилення досягають максимуму; такі точки називаються пучностями. Кожна струна може мати власні коливання строго певних частот n = πnα, n = 1, 2, .... Ці частоти називаються власними частотами струни. Найнижчий l тон, який може видавати струна, визначається 67

68 низькою власною частотою 1 = π T і називається основним тоном струни. Інші тони, що відповідають l ρ частотам n, n = 2, 3,..., називаються обертонами або гармоніками. Для наочності зобразимо типові профілі струни, що видає основний тон (рис. 33), перший обертон (рис. 34) та другий обертон (рис. 35). Мал. 33. Профіль струни, що видає основний тон Мал. 34. Профіль струни, що видає перший обертон. 35. Профіль струни, що видає другий обертон Якщо струна здійснює вільні коливання, що визначаються початковими умовами, функція u(x, t) представляється, як це видно з формули (35), у вигляді суми окремих гармонік. Таким чином довільне коливання 68

69 струни є суперпозицією стоячих хвиль. При цьому характер звучання струни (тон, сила звуку, тембр) залежатиме від співвідношення між амплітудами окремих гармонік. Сила, висота і тембр звуку. Сила звуку характеризується енергією чи амплітудою коливань: що більше енергія, то більше вписувалося сила звуку. Висота звуку визначається його частотою чи періодом коливань: що більше частота, то вище звук. Тембр звуку визначається наявністю обертонів, розподілом енергії за гармоніками, тобто способом збудження коливань. Амплітуди обертонів, взагалі кажучи, менші за амплітуду основного тону, а фази обертонів можуть бути довільними. Наше вухо не чутливе до фази коливань. Порівняйте, наприклад, дві криві на рис. 36, запозиченому з . Це запис звуку з тим самим основним тоном, витягнутого з кларнету (а) і рояля (б). Обидва звуки не є простими синусоїдальними коливаннями. Основна частота звуку в обох випадках однакова і створює однаковість тону. Але малюнки кривих різні тому, що на основний тон накладені різні обертони. В певному сенсі ці малюнки показують, що таке тембр. 69

Рівняння гіперболічного типу. Коливання нескінченної та напівнескінченної струни. Метод Фур'є Метод Фур'є Стоячі хвилі 4 Лекція 4.1. Рівняння гіперболічного типу. Коливання нескінченної та напівнескінченної

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЦИВІЛЬНОЇ АВІАЦІЇ В.М. Любимов, Є.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шурінов М А Т Е М А Т І К А Р А Д И ПОСІБНИК з вивчення дисципліни та контрольні завдання

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти МАТИ Російський державний технологічний університет імені К. Е. Ціолковського

Міністерство освіти Республіки Білорусь УО «Вітебський державний технологічний університет» Тема. «Ряди» Кафедра теоретичної та прикладної математики. розроблено доц. Є.Б. Дуніною. Основні

Федеральна агенція з освіти Федеральна державна освітня установа вищої професійної освіти ПІВДЕННИЙ ФЕДЕРАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецька Методичні

Тема Ряди Фур'є Практичне заняття Ряди Фур'є за ортогональними системами функцій Простір шматково-безперервних функцій Узагальнений ряд Фур'є 3 Нерівність Безселя та збіжність ряду Фур'є Простір

ТЕОРІЯ РЯДІВ Теорія рядів є найважливішою складовою математичного аналізу і знаходить як теоретичні, і численні практичні докладання. Розрізняють ряди числові та функціональні.

ЗМІСТ РЯДИ ФУР'Є 4 Поняття про періодичну функцію 4 Тригонометричний поліном 6 3 Ортогональні системи функцій 4 Тригонометричний ряд Фур'є 3 5 Ряд Фур'є для парних і непарних функцій 6 6 Розкладання

Федеральне агентство з освіти Московський Державний університет геодезії та картографії (МІІГАїК) МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ за курсом

Лекція 4. Гармонійний аналіз. Ряди Фур'є Періодичні функції. Гармонічний аналіз У науці та техніці часто доводиться мати справу з періодичними явищами, тобто такими, що повторюються через

ТЕМА V РЯД ФУР'Є ЛЕКЦІЯ 6 Розкладання періодичної функції в ряд Фур'є Багато процесів, що відбуваються в природі і техніці, мають властивості повторюватися через певні проміжки часу Такі процеси

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗРАХУНКОВИХ ЗАВДАНЬ ПО КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ «ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ РЯДИ Подвійні ІНТЕГРАЛИ» ЧАСТИНА Ш ТЕМА РЯДИ

6 Ряди Фур'є 6 Ортогональні системи функцій Ряд Фур'є по ортогональній системі функцій Функції ϕ () і ψ (), визначені та інтегровані на відрізку [, ], називаються ортогональними на цьому відрізку, якщо

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Інтегральні суми та певний інтеграл Нехай дана функція y = f(), визначена на відрізку [, b], де< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Ступінні ряди 5 Ступінні ряди: визначення, область збіжності Функціональний ряд виду (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) де, a, a, K, a,k деякі числа, називають статечним рядом Числа

БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ІНФОРМАТИКИ Кафедра вищої математики Навчально-методичний посібник для студентів факультету прикладної математики та інформатики

Розглянемо деякі приклади. приклад. Знайдемо суму нескінченної геометричної прогресії Формула загального члена цього ряду a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Обчислимо його часткові суми. Якщо q =, то

Завдання 1.1. Знайти у вказаній області відмінні від тотожного нуля рішення y = y(x) диференціального рівняння, що задовольняють заданим крайовим умовам (завдання Штурма-Ліувіля) Розв'язання

Математичний аналіз Тема: Певний інтеграл Невласні інтеграли Лектор Пахомова Є.Г. 2017 р. РОЗДІЛ II. Певний інтеграл та його додатки 1. Певний інтеграл та його властивості 1. Завдання,

Лекція 8 4 Завдання Штурма-Ліувіля Розглянемо початково-крайову задачу для диференціального рівняння в приватних похідних другого порядку, що описує малі поперечні коливання струни Струна розглядається

Пояснення до тексту: знак читається як "рівносильно" і позначає, що у рівнянь праворуч від знака і зліва від знака безліч рішень збігається, знак IR позначає безліч речових чисел, знак IN

82 4. Розділ 4. Функціональні та статечні ряди 4.2. Заняття 3 4.2. Заняття 3 4.2.. Розкладання функції в ряд Тейлора ВИЗНАЧЕННЯ 4.2.. Нехай функція y = f(x) нескінченно диференційована в околиці

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «САМАРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

Федеральне агентство залізничного транспорту Уральський державний університет шляхів сполучення Кафедра «Вища та прикладна математика» Н. П. Чуєв Елементи гармонійного аналізу

Лекція 3 Ряди Тейлора і Маклорена Застосування статечних рядів Розкладання функцій у статечні ряди Ряди Тейлора і Маклорена Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати в степеневий ряд, ті функцію

С А Лавренченко wwwwrckoru Лекція Перетворення Фур'є Поняття інтегрального перетворення Метод інтегральних перетворень один із потужних методів математичної фізики є потужним засобом вирішення

Інтегрованість функції (за Ріманом) та певний інтеграл Приклади розв'язання задач 1. Постійна функція f(x) = C інтегрована на , так як для будь-яких розбиття та будь-якого вибору точок ξ i інтегральні

І курс, завдання. Доведіть, що функція Рімана, якщо 0, m m R(), якщо m, m 0 і дріб нескоротний, 0, якщо ірраціонально, розривна в кожній раціональній точці і безперервна в кожній ірраціональній. Рішення.

1 2 Зміст 1 Ряди Фур'є 5 1.1 Тригонометричний ряд Фур'є............ 5 1.2 Тільки sin & cos..................... 7 1.3 Ряд Фур'є в комплексній формі 11 1.4 f(x) = ck?.......................

РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ 1. Диференціальні рівняння з приватними похідними.

Лекція 4. Хвильові рівняння 1. Виведення рівняння коливань струни 2. Рівняння поздовжніх коливань стрижня 3. Початкові умови, крайові умови 4. Постановка задач 1. Висновок рівняння коливань струни

1. Електростатика 1 1. Електростатика Урок 6 Розділення змінних у декартових координатах 1.1. (Завдання 1.49) Площина z = заряджена із щільністю σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), де σ, α, β постійні.

Модуль Тема Функціональні послідовності та ряди Властивості рівномірної збіжності послідовностей та рядів Ступінні ряди Лекція Визначення функціональних послідовностей та рядів Рівномірно

Рівняння параболічного типу. Метод поділу змінних Однорідне крайове завдання Функція джерела Неоднорідне рівняння теплопровідності 7 Лекція 7.1 Рівняння параболічного типу. Метод поділу

Лекція Числові ряди Ознаки збіжності Числові ряди Ознаки збіжності Нескінченний вираз числової послідовності + + + +, складений з членів нескінченної, називається числовим рядом Числа,

35 7 Тригонометричні ряди Фур'є Ряди Фур'є для періодичних функцій з періодом T. Нехай f(x) - шматково - безперервна періодична функція з періодом T. Розглянемо основну тригонометричну систему

Металургійний факультет Кафедра вищої математики РЯДИ Методичні вказівки Новокузнецьк 5 Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти

Кафедра математики та інформатики Елементи вищої математики Навчально-методичний комплекс для студентів СПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль Диференціальне обчислення Упорядник:

9. Первісна та невизначений інтеграл 9.. Нехай на проміжку I R задана функція f(). Функцію F() називають первісної функції f() на проміжку I, якщо F() = f() для будь-якого I, та первісної

ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЙ ЗМІННОЇ Поняття похідної, її геометричний і фізичний сенс Завдання, що призводять до поняття похідної Визначення Стосової S до лінії y f (x) у точці A x ; f (

Рівняння гіперболічного типу. Коливання нескінченної та напівнескінченної струни. Метод Даламбера Нескінченна струна. Формула Даламбера Напівнескінченна струна 3 Лекція 3.1. Рівняння гіперболічного типу.

Зміст Вступ. Основні поняття.... 4 1. Інтегральні рівняння Вольтерри... 5 Варіанти домашніх завдань.... 8 2. Резольвента інтегрального рівняння Вольтерри. 10 Варіанти домашніх завдань.... 11

РЯДИ. Числові ряди. Основні визначення Нехай дано нескінченну послідовність чисел Вираз (нескінченна сума) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= називається числовим рядом. Числа

8. Ступінні ряди 8.. Функціональний ряд виду c n (z) n, (8.) n= де c n числова послідовність, R фіксоване число, а z R називають статечним рядом з коефіцієнтами c n. Виконавши заміну змінних

~ ~ Невизначений і певний інтеграли Поняття первісної та невизначеного інтеграла. Визначення: Функція F називається першорядною по відношенню до функції f, якщо ці функції пов'язані наступним

3724 РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ 1 РОБОЧА ПРОГРАМА РОЗДІЛІВ «РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ» 11 Числові ряди Поняття числового ряду Властивості числових

Є.М. РУДИЙ МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ. ЧИСЛОВІ І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ НОВОСИБИРСЬК 200 2 МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ГОУ ВПО «НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» О.М. Рудий МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ.

ЛЕКЦІЯ N 7. Ступінні ряди і ряди Тейлора..Степінні ряди..... Ряд Тейлора.... 4.Розкладання деяких елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена.... .Ступіньні

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ Зміст КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ... 4. та дослідження квадратних рівнянь... 4.. Квадратне рівняння з числовими коефіцієнтами... 4.. Вирішити та дослідити квадратні рівняння щодо

РОЗДІЛ ЗАВДАННЯ З ПАРАМЕТРАМИ Коментар Завдання з параметрами традиційно є складними завданнями у структурі ЄДІ, що вимагають від абітурієнта не лише володіння всіма методами та прийомами рішення різних

Диференціальне обчислення Введення в математичний аналіз Межа послідовності та функції. Розкриття невизначеностей у межах. Похідна функції. Правила диференціювання. Застосування похідної

Ряди Фур'є Ортогональні системи функцій З точки зору алгебри рівність де - функції даного класу а - коефіцієнти з R або C просто означає, що вектор є лінійною комбінацією векторів

1. Певний інтеграл 1.1. Нехай f обмежена функція, задана на відрізку [, b] R. Розбиттям відрізка [, b] називають такий набір точок τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b], що = x< x 1 < < x n 1

Гл Ступінні ряди a a a Ряд виду a a a a a () називається статечним, де, a, постійні, звані коефіцієнтами ряду Іноді розглядають статечний ряд більш загального виду: a(a) a(a) a(a) (), де

2. Визначення коефіцієнтів низки за формулами Фур'є.

Нехай періодична функція ƒ(х) з періодом 2π така, що вона представляється тригонометричним рядом, що сходить до цієї функції в інтервалі (-π, π), тобто є сумою цього ряду:

Припустимо, що інтеграл від функції, що стоїть у лівій частині цієї рівності, дорівнює сумі інтегралів від цього ряду. Це буде виконуватися, якщо припустити, що числовий ряд, складений з коефіцієнтів даного тригонометричного ряду, абсолютно сходиться, тобто сходиться позитивний числовий ряд

Ряд (1) мажоруємо і можна почленно інтегрувати у проміжку (-π, π). Проінтегруємо обидві частини рівності (2):

Обчислимо окремо кожен інтеграл, що зустрічається у правій частині:

,

,

Таким чином, , звідки

. (4)

Оцінка коефіцієнтів Фур'є. (Бугрів)

Теорема 1. Нехай функція ƒ(x) періоду 2π має безперервну похідну ƒ(s) (x) порядку s, яка задовольняє на всій дійсній осі нерівності:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

тоді коефіцієнти Фур'є функції задовольняють нерівності

Доведення. Інтегруючи частинами і враховуючи, що

ƒ(-π) = ƒ(π), маємо

Інтегруючи праву частину (7) послідовно, враховуючи, що похідні ? 6).

Друга оцінка (6) виходить так.

Теорема 2. Для коефіцієнтів Фур'є ƒ(x) має місце нерівність

(8)

Доведення. Маємо

(9)

Вводячи у разі заміну змінної і враховуючи, що ƒ(x) – періодична функція, отримаємо

Складаючи (9) та (10), отримуємо

Аналогічним чином проводимо доказ b k .

Слідство. Якщо функція ƒ(x) безперервна, її коефіцієнти Фур'є прагнуть нулю: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Простір функцій із скалярним твором.

Функція ƒ(x) називається кусочно-непрерывной на відрізку , якщо вона безперервна цьому відрізку, крім, можливо, кінцевого числа точок, де має розриви першого роду. Такі точки можна складати та множити на дійсні числа та отримувати як результат знову шматково-безперервні на відрізку функції.

Скалярним твором двох шматково-безперервних на (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Очевидно для будь-яких шматково-безперервних на функцій ƒ , φ ψ виконуються властивості:

1) (ƒ , φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) і з рівності (ƒ , ƒ) = 0 випливає, що ƒ(x) =0 на , виключаючи, можливо, кінцеве число точок x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

де α, β – довільні дійсні числа.

Безліч всіх шматково-безперервних функцій, визначених на відрізку , для яких введено скалярний твір за формулою (11), ми будемо позначати, і називати простором

Зауваження 1.

У математиці називають простором = (a, b) сукупність функцій ƒ(x), інтегрованих у лебеговом сенсі разом зі своїми квадратами, котрим запроваджено скалярне твір за такою формулою (11). Розглянутий простір є частиною. Простір має багато властивостей простору, але не всіма.

З властивостей 1), 2), 3) випливає важлива нерівність Буняковського | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , яке мовою інтегралів виглядає так:

Величина

називається нормою функції f.

Норма має такі властивості:

1) | f || ≥ 0, при цьому рівність може бути тільки для нульової функції f = 0, тобто функції, що дорівнює нулю, за винятком, можливо, кінцевого числа точок;

2) | ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) | α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

де α – дійсне число.

Друга властивість мовою інтегралів виглядає так:

і називається нерівністю Мінковського.

Говорять, що послідовність функцій ( f n ), належить до , сходить до функції належить у сенсі середнього квадратичного на (або ще за нормою ), якщо

Зазначимо, що якщо послідовність функцій n (x) сходиться рівномірно до функції ƒ (x) на відрізку , то для досить великих n різниця ƒ (x) - n (x) по абсолютній величині повинна бути мала для всіх х з відрізка .

У випадку ж, якщо n (x) прагне до ƒ (x) у сенсі середнього квадратичного на відрізку , то зазначена різниця може і не бути малою для великих n всюди на . В окремих місцях відрізка ця різниця може бути велика, але важливо тільки, щоб інтеграл від її квадрата по відрізку був малий для великих n.

приклад. Нехай на задана зображена на малюнку безперервна шматково-лінійна функція n (x) (n = 1, 2, ...), причому

(Бугров, стор. 281, рис. 120)

При будь-якому натуральному n

і, отже, ця послідовність функцій, хоч і сходить до нуля при n → ∞, але нерівномірно. Між тим

т. Е. Послідовність функцій (f n (х)) прагне до нуля в сенсі середнього квадратичного на .

З елементів деякої послідовності функцій 1, 2, 3, ... (належних) побудуємо ряд

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Сума перших його n членів

σ n = 1 + 2 + + n

є функція, що належить до . Якщо трапиться, що існує функція така, що

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

то кажуть, що ряд (12) сходиться до функції в сенсі середнього квадратичного і пишуть

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Примітка 2.

Можна розглядати простір = (a, b) комплекснозначних функцій ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), де ƒ 1 (x) та ƒ 2 (x) – дійсні шматково – безперервні на функції. У цьому просторі функції множаться на комплексні числа та скалярний добуток функцій ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) та φ(х) = φ 1 (х) +i φ 2 (х) визначається наступним чином:

а норма визначається як величина

Ряд Фур'є періодичних функцій із періодом 2π.

Ряд Фур'є дозволяє вивчати періодичні функції, розкладаючи їх на компоненти. Змінні струми та напруги, зміщення, швидкість та прискорення кривошипно-шатунних механізмів та акустичні хвилі – це типові практичні приклади застосування періодичних функцій в інженерних розрахунках.

Розкладання в ряд Фур'є ґрунтується на припущенні, що всі функції, що мають практичне значення в інтервалі -π ≤x≤ π можна виразити у вигляді схожих тригонометричних рядів (ряд вважається схожим, якщо сходиться послідовність часткових сум, складених з його членів):

Стандартний (=звичайний) запис через суму sinx та cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

де a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - Справжні константи, тобто.

Де для діапазону від -π до π коефіцієнти ряду Фур'є розраховуються за формулами:

Коефіцієнти a o ,a n і b n називаються коефіцієнтами Фур'є, і якщо їх можна знайти, то ряд (1) називається поряд Фур'є,відповідним функції f(x). Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) називається першим або основною гармонікою,

Інший спосіб запису ряду - використання співвідношення acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Де a o - константа, з 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, з n = (a n 2 + b n 2) 1/2 - амплітуди різних компонентів, а дорівнює a n = arctg a n / b n .

Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) або c 1 sin(x+α 1) називається першим або основною гармонікою,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) або c 2 sin(2x+α 2) називається другий гармонікоюі так далі.

Для точного уявлення складного сигналу зазвичай потрібна нескінченна кількість членів. Однак у багатьох практичних завданнях достатньо розглянути лише кілька перших членів.

Ряд Фур'є неперіодичних функцій із періодом 2π.

Розкладання неперіодичних функцій до ряду Фур'є.

Якщо функція f(x) неперіодична, значить, вона не може бути розкладена в ряд Фур'є для всіх значень х. Однак можна визначити ряд Фур'є, що представляє функцію в будь-якому діапазоні шириною 2?

Якщо задана неперіодична функція, можна скласти нову функцію, вибираючи значення f(x) у певному діапазоні та повторюючи їх поза цим діапазоном з інтервалом 2π. Оскільки нова функція є періодичною з періодом 2π, її можна розкласти до ряду Фур'є для всіх значень х. Наприклад, функція f(x)=x не є періодичною. Однак, якщо необхідно розкласти її в ряд Фур'є на інтервалі від до 2π, тоді поза цим інтервалом будується періодична функція з періодом 2π (як показано на рис. нижче) .

Для неперіодичних функцій, таких як f(x)=х, сума ряду Фур'є дорівнює значенню f(x) у всіх точках заданого діапазону, але вона не дорівнює f(x) для точок поза діапазоном. Для знаходження ряду Фур'є неперіодичної функції в діапазоні 2π використовується все та ж формула коефіцієнтів Фур'є.

Парні та непарні функції.

Говорять, функція y=f(x) парнаякщо f(-x)=f(x) для всіх значень х. Графіки парних функцій завжди симетричні щодо осі у (тобто є дзеркально відбитими). Два приклади парних функцій: у = х 2 і у = cosx.

Говорять, що функція y=f(x) непарна,якщо f(-x)=-f(x) всім значень х. Графіки непарних функцій завжди симетричні щодо початку координат.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

Розкладання в ряд Фур'є по косинус.

Ряд Фур'є парної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени з косинусами (тобто не містить членів із синусами) і може включати постійний член. Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є непарної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени із синусами (тобто не містить членів із косинусами).

Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є на півперіоді.

Якщо функція визначена для діапазону, скажімо від 0 до π, а не тільки від 0 до 2π, її можна розкласти в ряд тільки синусами або тільки косинусами. Отриманий ряд Фур'є називається поряд Фур'є на напівперіоді.

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді по косинусахфункції f(x) в діапазоні від 0 до π, необхідно скласти парну періодичну функцію. На рис. Нижче показана функція f(x)=х, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки парна функція симетрична щодо осі f(x) проводимо лінію АВ, як показано на рис. нижче. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отримана трикутна форма є періодичною з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показ. на рис. нижче. Оскільки потрібно отримати розкладання Фур'є по косинусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнти Фур'є a o і a n

Якщо потрібно отримати функції f(x) у діапазоні від 0 до π, необхідно скласти непарну періодичну функцію. На рис. нижче показана функція f(x)=x, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки непарна функція симетрична щодо початку координат, будуємо лінію CD, як показано на рис. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отриманий пилкоподібний сигнал є періодичним з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показаний на рис. Оскільки потрібно отримати розкладання Фуріє на напівперіод по синусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнт Фур'є. b

Ряд Фур'є для довільного інтервалу.

Розкладання періодичної функції із періодом L.

Періодична функція f(x) повторюється зі збільшенням x L, тобто. f(x+L)=f(x). Перехід від розглянутих раніше функцій із періодом 2π до функцій із періодом L досить простий, оскільки його можна здійснити за допомогою заміни змінної.

Щоб знайти ряд Фур'є функції f(x) у діапазоні -L/2≤x≤L/2, введемо нову змінну u таким чином, щоб функція f(x) мала період 2π щодо u. Якщо u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π та х=L/2 при u=π. Також нехай f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фур'є F(u) має вигляд

Де коефіцієнти ряду Фур'є,

Однак найчастіше наведену вище формулу призводять до залежності від х. Оскільки u=2πх/L, отже du=(2π/L)dx, а межі інтегрування - від -L/2 до L/2 замість - π до π. Отже, ряд Фур'є для залежності від х має вигляд

де в діапазоні від -L/2 до L/2 коефіцієнти ряду Фур'є,

(Межі інтегрування можуть бути замінені на будь-який інтервал довжиною L, наприклад, від 0 до L)

Ряд Фур'є на напівперіод для функцій, заданих в інтервалі L≠2π.

Для підстановки u=πх/L інтервал від x=0 до x=L відповідає інтервалу від u=0 до u=π. Отже, функцію можна розкласти в ряд тільки по косинус або тільки по синусах, тобто. в ряд Фур'є на півперіоді.

Розкладання по косинусах в діапазоні від 0 до L має вигляд