Розкладання в ряд фур'є парних та непарних функцій нерівність безселя рівність парсевалю. Ряди Фур'є: історія та вплив математичного механізму на розвиток науки Розкладання експоненти до ряду фур'є

Ряди Фур'є - це уявлення довільно взятої функції з конкретним періодом у вигляді ряду. У загальному вигляді це рішення називають розкладанням елемента по ортогональному базису. Розкладання функцій у ряд Фур'є є досить потужним інструментарієм при розв'язанні різноманітних завдань завдяки властивостям даного перетворення при інтегруванні, диференціюванні, а також зсув виразу за аргументом і згорткою.

Людина, не знайома з вищою математикою, а також з працями французького вченого Фур'є, швидше за все, не зрозуміє, що це за «ряди» і для чого вони потрібні. А тим часом це перетворення досить щільно увійшло в наше життя. Ним користуються не лише математики, а й фізики, хіміки, медики, астрономи, сейсмологи, океанографи та багато інших. Давайте і ми ближче познайомимося з працями великого французького вченого, який зробив відкриття, яке випередило свій час.

Людина та перетворення Фур'є

Ряди Фур'є є одним із методів (поряд з аналізом та іншими) Цей процес відбувається щоразу, коли людина чує якийсь звук. Наше вухо в автоматичному режимі здійснює перетворення елементарних частинок в пружному середовищі, що розкладаються в ряди (за спектром) послідовних значень рівня гучності для тонів різної висоти. Далі мозок перетворює ці дані на звичні нам звуки. Все це відбувається окрім нашого бажання чи свідомості, саме по собі, а от для того, щоб зрозуміти ці процеси, знадобиться кілька років вивчати вищу математику.

Докладніше про перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є можна проводити аналітичними, чисельними та іншими методами. Ряди Фур'є відносяться до чисельного способу розкладання будь-яких коливальних процесів - від океанських припливів та світлових хвиль до циклів сонячної (та інших астрономічних об'єктів) активності. Використовуючи ці математичні прийоми, можна розбирати функції, представляючи будь-які коливальні процеси як ряд синусоїдальних складових, які переходять від мінімуму до максимуму і назад. Перетворення Фур'є є функцією, що описує фазу та амплітуду синусоїд, що відповідають певній частоті. Цей процес можна використовувати для вирішення дуже складних рівнянь, які описують динамічні процеси, що виникають під дією теплової, світлової чи електричної енергії. Також ряди Фур'є дозволяють виділяти постійні складові у складних коливальних сигналах, завдяки чому стало можливим правильно інтерпретувати отримані експериментальні спостереження в медицині, хімії та астрономії.

Історична довідка

Батьком-засновником цієї теорії є французький математик Жан Батіст Жозеф Фур'є. Його ім'ям згодом і було названо це перетворення. Спочатку вчений застосував свій метод для вивчення та пояснення механізмів теплопровідності – поширення тепла у твердих тілах. Фур'є припустив, що спочатку нерегулярний розподіл можна розкласти на найпростіші синусоїди, кожна з яких матиме свій температурний мінімум і максимум, а також свою фазу. При цьому кожна така компонента вимірюватиметься від мінімуму до максимуму та назад. Математична функція, яка описує верхні та нижні піки кривої, а також фазу кожної з гармонік, назвали перетворенням Фур'є від вираження розподілу температури. Автор теорії звів загальну функцію розподілу, яка важко піддається математичному опису, до дуже зручного в обігу ряду косинуса і синуса, що в сумі дають вихідний розподіл.

Принцип перетворення та погляди сучасників

Сучасники вченого - провідні математики початку ХІХ століття - не прийняли цю теорію. Основним запереченням послужило твердження Фур'є про те, що розривну функцію, що описує пряму лінію або криву, що розривається, можна подати у вигляді суми синусоїдальних виразів, які є безперервними. Як приклад можна розглянути «сходинку» Хевісайда: її значення дорівнює нулю ліворуч від розриву та одиниці праворуч. Ця функція визначає залежність електричного струму від тимчасової змінної при замиканні ланцюга. Сучасники теорії на той момент ніколи не стикалися з подібною ситуацією, коли розривне вираз описувалося комбінацією безперервних, звичайних функцій, таких як експонента, синусоїда, лінійна або квадратична.

Що бентежило французьких математиків у теорії Фур'є?

Адже якщо математик мав рацію у своїх твердженнях, то, підсумовуючи нескінченний тригонометричний ряд Фур'є, можна отримати точне уявлення ступінчастого вираження навіть у тому випадку, якщо воно має безліч подібних щаблів. На початку ХІХ століття подібне твердження здавалося абсурдним. Але незважаючи на всі сумніви, багато математиків розширили сферу вивчення цього феномену, вивівши його за межі досліджень теплопровідності. Проте більшість учених продовжували мучитися питанням: "Чи може сума синусоїдального ряду сходитися до точного значення розривної функції?"

Схожість рядів Фур'є: приклад

Питання про збіжність піднімається щоразу за необхідності підсумовування нескінченних рядів чисел. Для розуміння цього феномена розглянемо класичний приклад. Чи зможете ви коли-небудь досягти стіни, якщо кожен наступний крок буде вдвічі меншим за попередній? Припустимо, що ви знаходитесь за два метри від мети, перший крок наближає до позначки на половині шляху, наступний - до позначки в три чверті, а після п'ятого ви подолаєте майже 97 відсотків шляху. Однак скільки б ви не зробили кроків, наміченої мети ви не досягнете в строгому математичному сенсі. Використовуючи числові розрахунки, можна довести, що зрештою можна наблизитися на скільки завгодно малу задану відстань. Даний доказ є еквівалентним демонстрації того, що сумарне значення однієї другої, однієї четвертої тощо буде прагнути до одиниці.

Питання збіжності: друге пришестя, або Прилад лорда Кельвіна

Повторно це питання піднялося наприкінці дев'ятнадцятого століття, коли ряди Фур'є спробували застосувати для прогнозування інтенсивності відливів і припливів. У цей час лордом Кельвіном був винайдений прилад, що є аналоговим обчислювальним пристроєм, який дозволяв морякам військового і торгового флоту відстежувати це природне явище. Даний механізм визначав набори фаз і амплітуд по таблиці висоти припливів і відповідних тимчасових моментів, ретельно заміряних в даній гавані протягом року. Кожен параметр був синусоїдальною компонентою виразу висоти припливу і був однією з регулярних складових. Результати вимірювань вводилися в обчислювальний прилад лорда Кельвіна, який синтезує криву, яка передбачала висоту води як тимчасову функцію наступного року. Незабаром подібні криві були складені всім гаваней світу.

А якщо процес буде порушено розривною функцією?

У той час здавалося очевидним, що прилад, що передбачає проливну хвилю, з великою кількістю елементів рахунку може обчислити велику кількість фаз і амплітуд і так забезпечити більш точні передбачення. Проте виявилося, що ця закономірність не дотримується у тих випадках, коли приливний вираз, який слід синтезувати, містив різкий стрибок, тобто був розривним. У тому випадку, якщо пристрій вводяться дані з таблиці часових моментів, то воно робить обчислення декількох коефіцієнтів Фур'є. Вихідна функція відновлюється завдяки синусоїдальним компонентам (відповідно до знайдених коефіцієнтів). Розбіжність між вихідним та відновленим виразом можна вимірювати у будь-якій точці. При проведенні повторних обчислень та порівнянь видно, що значення найбільшої помилки не зменшується. Однак вони локалізуються в області, що відповідає точці розриву, а в будь-якій іншій точці прагнуть нуля. У 1899 році цей результат був теоретично підтверджений Джошуа Уіллардом Гіббсом із Єльського університету.

Схожість рядів Фур'є та розвиток математики в цілому

Аналіз Фур'є не застосовується до виразів, що містять нескінченну кількість сплесків на певному інтервалі. У цілому ряди Фур'є, якщо початкова функція представлена ​​результатом реального фізичного виміру, завжди сходяться. Питання збіжності даного процесу для конкретних класів функцій призвели до появи нових розділів математики, наприклад теорії узагальнених функцій. Вона пов'язана з такими іменами, як Л. Шварц, Дж. Мікусінський та Дж. Темпл. У рамках цієї теорії була створена чітка і точна теоретична основа під такі вирази, як дельта-функція Дірака (вона описує область єдиної площі, сконцентрованої в нескінченно малій околиці точки) і «ступінь» Хевісайда. Завдяки цій роботі ряди Фур'є стали застосовні для вирішення рівнянь і завдань, в яких фігурують поняття інтуїтивні: точковий заряд, точкова маса, магнітні диполі, а також зосереджена навантаження на балці.

Метод Фур'є

Ряди Фур'є, відповідно до принципів інтерференції, починаються з розкладання складних форм більш прості. Наприклад, зміна теплового потоку пояснюється його проходженням крізь різні перешкоди з теплоізолюючого матеріалу неправильної форми або зміною поверхні землі – землетрусом, зміною орбіти небесного тіла – впливом планет. Як правило, подібні рівняння, що описують прості класичні системи, елементарно вирішуються кожної окремої хвилі. Фур'є показав, що прості рішення також можна підсумовувати для отримання більш складних завдань. Висловлюючись мовою математики, ряди Фур'є - це методика подання вираження сумою гармонік - косінусоїд та синусоїд. Тому цей аналіз відомий також під ім'ям «гармонічний аналіз».

Ряд Фур'є – ідеальна методика до «комп'ютерної доби»

До створення комп'ютерної техніки методика Фур'є була найкращою зброєю в арсеналі вчених під час роботи з хвильовою природою нашого світу. Ряд Фур'є у комплексній формі дозволяє вирішувати не лише прості завдання, які піддаються прямому застосуванню законів механіки Ньютона, а й фундаментальні рівняння. Більшість відкриттів ньютонівської науки дев'ятнадцятого століття стали можливими лише завдяки методиці Фур'є.

Ряди Фур'є сьогодні

З розвитком комп'ютерів перетворення Фур'є піднялися якісно новий рівень. Ця методика міцно закріпилася практично у всіх сферах науки та техніки. Як приклад можна навести цифровий аудіо- та відеосигнал. Його реалізація стала можливою лише завдяки теорії, розробленій французьким математиком на початку ХІХ століття. Так, ряд Фур'є у комплексній формі дозволив зробити прорив у вивченні космічного простору. Крім того, це вплинуло на вивчення фізики напівпровідникових матеріалів та плазми, мікрохвильової акустики, океанографії, радіолокації, сейсмології.

Тригонометричний ряд Фур'є

У математиці ряд Фур'є є способом уявлення довільних складних функцій сумою простіших. У загальних випадках кількість таких виразів може бути нескінченною. При цьому чим більше їхня кількість враховується при розрахунку, тим точніше виходить кінцевий результат. Найчастіше як найпростіші використовують тригонометричні функції косинуса або синуса. У такому разі ряди Фур'є називають тригонометричними, а вирішення таких виразів – розкладанням гармоніки. Цей метод відіграє у математиці. Насамперед, тригонометричний ряд дає засоби для зображення, а також вивчення функцій, він є основним апаратом теорії. Крім того, він дозволяє вирішувати низку завдань математичної фізики. Нарешті, ця теорія сприяла розвитку викликала до життя низку дуже важливих розділів математичної науки (теорію інтегралів, теорію періодичних функцій). Крім того, послужила відправним пунктом для розвитку наступних функцій дійсного змінного, а також започаткувала гармонійний аналіз.

Ряд Фур'є періодичних функцій із періодом 2π.

Ряд Фур'є дозволяє вивчати періодичні функції, розкладаючи їх на компоненти. Змінні струми та напруги, зміщення, швидкість та прискорення кривошипно-шатунних механізмів та акустичні хвилі – це типові практичні приклади застосування періодичних функцій в інженерних розрахунках.

Розкладання в ряд Фур'є ґрунтується на припущенні, що всі функції, що мають практичне значення в інтервалі -π ≤x≤ π можна виразити у вигляді схожих тригонометричних рядів (ряд вважається схожим, якщо сходиться послідовність часткових сум, складених з його членів):

Стандартний (=звичайний) запис через суму sinx та cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

де a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - Справжні константи, тобто.

Де для діапазону від -π до π коефіцієнти ряду Фур'є розраховуються за формулами:

Коефіцієнти a o ,a n і b n називаються коефіцієнтами Фур'є, і якщо їх можна знайти, то ряд (1) називається поряд Фур'є,відповідним функції f(x). Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) називається першим або основною гармонікою,

Інший спосіб запису ряду - використання співвідношення acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Де a o - константа, з 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, з n = (a n 2 + b n 2) 1/2 - амплітуди різних компонентів, а дорівнює a n = arctg a n / b n .

Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) або c 1 sin(x+α 1) називається першим або основною гармонікою,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) або c 2 sin(2x+α 2) називається другий гармонікоюі так далі.

Для точного уявлення складного сигналу зазвичай потрібна нескінченна кількість членів. Однак у багатьох практичних завданнях достатньо розглянути лише кілька перших членів.

Ряд Фур'є неперіодичних функцій із періодом 2π.

Розкладання неперіодичних функцій.

Якщо функція f(x) неперіодична, значить, вона не може бути розкладена в ряд Фур'є для всіх значень х. Однак можна визначити ряд Фур'є, що представляє функцію в будь-якому діапазоні шириною 2?

Якщо задана неперіодична функція, можна скласти нову функцію, вибираючи значення f(x) у певному діапазоні та повторюючи їх поза цим діапазоном з інтервалом 2π. Оскільки нова функція є періодичною з періодом 2π, її можна розкласти до ряду Фур'є для всіх значень х. Наприклад, функція f(x)=x не є періодичною. Однак, якщо необхідно розкласти її в ряд Фур'є на інтервалі від до 2π, тоді поза цим інтервалом будується періодична функція з періодом 2π (як показано на рис. нижче) .

Для неперіодичних функцій, таких як f(x)=х, сума ряду Фур'є дорівнює значенню f(x) у всіх точках заданого діапазону, але вона не дорівнює f(x) для точок поза діапазоном. Для знаходження ряду Фур'є неперіодичної функції в діапазоні 2π використовується все та ж формула коефіцієнтів Фур'є.

Парні та непарні функції.

Говорять, функція y=f(x) парнаякщо f(-x)=f(x) для всіх значень х. Графіки парних функцій завжди симетричні щодо осі у (тобто є дзеркально відбитими). Два приклади парних функцій: у = х 2 і у = cosx.

Говорять, що функція y=f(x) непарна,якщо f(-x)=-f(x) всім значень х. Графіки непарних функцій завжди симетричні щодо початку координат.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

Розкладання в ряд Фур'є по косинус.

Ряд Фур'є парної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени з косинусами (тобто не містить членів із синусами) і може включати постійний член. Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є непарної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени із синусами (тобто не містить членів із косинусами).

Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є на півперіоді.

Якщо функція визначена для діапазону, скажімо від 0 до π, а не тільки від 0 до 2π, її можна розкласти в ряд тільки синусами або тільки косинусами. Отриманий ряд Фур'є називається поряд Фур'є на напівперіоді.

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді по косинусахфункції f(x) в діапазоні від 0 до π, необхідно скласти парну періодичну функцію. На рис. Нижче показана функція f(x)=х, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки парна функція симетрична щодо осі f(x) проводимо лінію АВ, як показано на рис. нижче. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отримана трикутна форма є періодичною з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показ. на рис. нижче. Оскільки потрібно отримати розкладання Фур'є по косинусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнти Фур'є a o і a n

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді за синусамифункції f(x) в діапазоні від 0 до π, необхідно скласти непарну періодичну функцію. На рис. нижче показана функція f(x)=x, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки непарна функція симетрична щодо початку координат, будуємо лінію CD, як показано на рис. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отриманий пилкоподібний сигнал є періодичним з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показаний на рис. Оскільки потрібно отримати розкладання Фуріє на напівперіод по синусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнт Фур'є. b

Ряд Фур'є для довільного інтервалу.

Розкладання періодичної функції із періодом L.

Періодична функція f(x) повторюється зі збільшенням x L, тобто. f(x+L)=f(x). Перехід від розглянутих раніше функцій із періодом 2π до функцій із періодом L досить простий, оскільки його можна здійснити за допомогою заміни змінної.

Щоб знайти ряд Фур'є функції f(x) у діапазоні -L/2≤x≤L/2, введемо нову змінну u таким чином, щоб функція f(x) мала період 2π щодо u. Якщо u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π та х=L/2 при u=π. Також нехай f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фур'є F(u) має вигляд

(Межі інтегрування можуть бути замінені на будь-який інтервал довжиною L, наприклад, від 0 до L)

Ряд Фур'є на напівперіод для функцій, заданих в інтервалі L≠2π.

Для підстановки u=πх/L інтервал від x=0 до x=L відповідає інтервалу від u=0 до u=π. Отже, функцію можна розкласти в ряд тільки по косинус або тільки по синусах, тобто. в ряд Фур'є на півперіоді.

Розкладання по косинусах в діапазоні від 0 до L має вигляд

Ряди Фур'є– спосіб представлення складної функції сумою простіших, добре відомих.
Синус та косинус – це періодичні функції. Ще вони утворюють ортогональний базис. Цю властивість можна пояснити за аналогією з осями X X Xі Y Y Yна координатній площині. Так само, як ми можемо описати координати точки щодо осей, ми можемо описати будь-яку функцію щодо синусів та косинусів. Тригонометричні функції добре вивчені та їх легко застосовувати у математиці.

Уявити синуси та косинуси можна у вигляді таких хвиль:

Сині – це косинуси, червоні – синуси. Ще такі хвилі називають гармоніками. Косинуси – парними, синуси – непарними. Термін гармоніка прийшов ще з античності і пов'язаний із спостереженнями про взаємозв'язок висот звуків у музиці.

Що таке ряд Фур'є

Такий ряд, де як найпростіші використовуються функції синуса та косинуса, називається тригонометричним. Названо його на честь свого винахідника Жана Батіста Жозефа Фур'є, наприкінці XVIII–початку XIX ст. який доказав, що будь-яку функцію можна представити у вигляді комбінації таких гармонік. І чим більше їх взяти, тим точніше ця вистава буде. Наприклад картинка нижче: можна побачити, що з великою кількістю гармонік, т. е. членів низки Фур'є, червоний графік стає дедалі ближче до синього – вихідної функції.

Практичне застосування у сучасному світі

А чи взагалі потрібні ці ряди зараз? Де вони можуть застосовуватися практично і чи використовує їх хтось, крім математиків-теоретиків? Виявляється, Фур'є тому й відомий на весь світ, що практична користь його лав буквально незліченна. Їх зручно застосовувати там, де є будь-які коливання чи хвилі: акустика, астрономія, радіотехніка тощо. буд. Найпростіший приклад його використання: механізм роботи фотоапарата чи відеокамери. Якщо коротше пояснювати, ці пристрої записують не просто картинки, а коефіцієнти рядів Фур'є. І працює це скрізь - під час перегляду картинок в інтернеті, фільму або прослуховування музики. Саме завдяки рядам Фур'є ви можете прочитати цю статтю зі свого мобільного телефону. Без перетворення Фур'є нам не вистачило б жодної пропускної спроможності інтернет-з'єднань, щоб просто переглянути відео на YouTube навіть у стандартній якості.

На цій схемі двомірне перетворення Фур'є, яке використовується для розкладання зображення на гармоніки, тобто базисні складові. На цій схемі чорним закодовано значення -1, білим 1. Вправо та вниз за графіком збільшується частота.

Розкладання в ряд Фур'є

Напевно, ви вже втомилися читати, тож перейдемо до формул.
Для такого математичного прийому, як розкладання функцій у ряді Фур'є, доведеться брати інтеграли. Багато інтегралів. У загальному вигляді ряд Фур'є записують у вигляді нескінченної суми:

F(x) = A + ∑ n = 1 ∞ (an cos ⁡ (nx) + bn sin ⁡ (nx)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A +n = 1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x ) +b n​ sin (n x ))
де
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x
an = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (nx) dx a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
bn = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (nx) dx b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x ) d x

Якщо ми якимось чином зможемо порахувати нескінченну кількість a n a_n a n​ і b n b_n b n​ (Вони і називаються коефіцієнтами розкладання Фур'є, A A A- це просто постійна цього розкладання), то отриманий ряд в результаті буде на 100% збігатися з вихідною функцією f(x) f(x) f(x)на відрізку від − π -\pi − π до π \pi π . Такий відрізок обумовлений властивостями інтегрування синуса та косинуса. Чим більше n n nдля якого ми розрахуємо коефіцієнти розкладання функції в ряд, тим точніше буде це розкладання.

приклад

Візьмемо просту функцію y = 5 x y = 5x y =5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) dx = 1 2 π ∫ − π π 5 xdx = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) dx = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) dx = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) dx = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) dx = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \ sin (x) dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) dx = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) dx = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) sin(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xsin(2 x) dx= − 5

І так далі. У випадку з такою функцією ми можемо відразу сказати, що всі a n = 0 a_n = 0an​ = 0 , коефіцієнти b n b_nbn​ доведеться обчислювати. Якщо ми візьмемо перші чотири члени розкладання в ряд Фур'є для функції y = 5 x y = 5xy= 5 x, Отримаємо:

$5x\approx 10\cdot \sin (x)-5\cdot \sin (2\cdot x)+310\cdot \sin (3\cdot x)-25\cdot \sin (4\cdot x)$

Графік функції, що вийшла, буде виглядати наступним чином:

Розкладання, що вийшло, в ряд Фур'є наближається до нашої вихідної функції. Якщо ми візьмемо більше членів ряду, наприклад, 15, то побачимо вже наступне:

Чим більше членів розкладання в ряд, тим вища точність.
Якщо ми трохи змінимо масштаб графіка, зможемо помітити ще одну особливість перетворення: низка Фур'є – це періодична функція з періодом 2 π 2\pi2 π .

Таким чином, можна представляти будь-яку функцію, яка є безперервною на відрізку [ − π ; π] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Все це потрібно для того, щоб полегшити аналіз якихось явищ, що описуються складними функціями. Не завжди можливо аналітично (тобто за формулою) порахувати похідну, а у випадку з набором синусів та косінусів такої проблеми не виникне. Власне розкладання до ряду Фур'є показує, що найчастіше завдання можна вирішувати аналітично на спрощених моделях, одним із прикладів яких і є ряд Фур'є.

Транскрипт

1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РФ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФІЗИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхєєва РЯДИ ФУР'Є У ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ Навчальний посібник1

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхєєва Р. К. Ряди Фур'є в прикладах та задачах: Навчальний посібник / Новосиб. держ. ун-т. Новосибірськ, с. ISBN У навчальному посібнику викладаються основні відомості про ряди Фур'є, наведено приклади на кожну тему, що вивчається. Детально розібраний приклад застосування методу Фур'є до розв'язання задачі про поперечні коливання струни. Наведено ілюстративний матеріал. Є завдання самостійного рішення. Призначений для студентів та викладачів фізичного факультету НГУ. Друкується у вирішенні методичної комісії фізичного факультету НГУ. Рецензент д-р фіз. наук. В. А. Александров Посібник підготовлений у рамках реалізації Програми розвитку НДУ-НГУ на пп. ISBN з Новосибірський державний університет, 211 з Бельхєєва Р. К., 211

3 1. Розкладання 2π-періодичної функції до ряду Фур'є Визначення. Поруч Фур'є функції f(x) називається функціональний ряд a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) де коефіцієнти an, bn обчислюються за формулами: an = 1 π bn = 1 π f(x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формули (2) (3) називають формулами Ейлера Фур'є. Той факт, що функції f(x) відповідає ряду Фур'є (1) записують у вигляді формули f(x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) і кажуть, що права частина формули (4) є формальним рядом Фур'є функції f(x). Інакше кажучи, формула (4) означає лише те, що коефіцієнти a n, b n знайдено за формулами (2), (3). 3

4 Визначення. 2π-періодична функція f(x) називається шматково-гладкою, якщо в проміжку [, π] знайдеться кінцеве число точок = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Мал. 1. Графік функції f(x) Обчислимо коефіцієнти Фур'є a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, при n непарному, при n парному, f(x ) sin nxdx =, тому що функція f(x) парна. Запишемо формальний ряд Фур'є для функції f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Чи з'ясовано, чи функція f(x) кусочно-гладкой. Так як вона безперервна, обчислимо тільки межі (6) в кінцевих точках проміжку x = ±π і в точці зламу x = : і f (π h) f (π) π h π f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + hh + hf(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f(h) f () h () lim = lim = 1. h + hh + h Межі існують і кінцеві, отже, функція шматково-гладка. За теоремою про крапкову збіжність її ряд Фур'є сходиться до f(x) у кожній точці, тобто f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) На рис. 2, 3 показаний характер наближення часткових сум ряду Фур'є S n (x), де S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k=1 до функції f(x) у проміжку [, π] . 6

7 Мал. 2. Графік функції f(x) з накладеними на нього графіками часткових сум S(x) = a 2 та S 1(x) = a 2 + a 1 cos x Рис. 3. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Підставивши в (7) x = отримаємо: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, звідки ми знаходимо суму числового ряду: = π2 8. Знаючи суму цього ряду, легко знайти наступну суму Маємо: S = ( ) S = () = π S, отже S = π2 6, тобто 1 n = π Суму цього знаменитого ряду вперше знайшов Леонард Ейлер. Вона часто зустрічається в математичному аналізі та його додатках. ПРИКЛАД 2. Намалюємо графік, знайдемо ряд Фур'є функції заданою формулою f(x) = x для x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Мал. 4. Графік функції f(x) Функція f(x) безперервно диференційована на проміжку (, π). У точках x = ±π вона має кінцеві межі (5): f() =, f(π) = π. Крім того, існують кінцеві межі (6): f(+ h) f(+) lim = 1 і h + hf(π h) f(π +) lim = 1. h + h Значить, f(x) шматково-гладка функція. Оскільки функція f(x) непарна, то a n =. Коефіцієнти bn знаходимо інтегруванням частинами: bn = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1)n+ 1. n Складемо формальний ряд Фур'є функції 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Відповідно до теореми про поточкову збіжність шматково-гладкої 2π-періодичної функції ряд Фур'є функції f(x) сходить до суми: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, якщо π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Мал. 6. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S2(x) Рис. 7. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 3 (x) 11

12 Мал. 8. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) Використовуємо отриманий ряд Фур'є для знаходження сум двох числових рядів. Покладемо (8) x = π/2. Тоді 2 () + ... = π 2, або = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Ми легко знайшли суму відомого ряду Лейбниця. Поклавши в (8) x = π/3, знайдемо () +... = π 2 3, або (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 ПРИКЛАД 3. Намалюємо графік, знайдемо ряд Фур'є функції f(x) = sin x, припускаючи, що вона має період 2π, і 1 обчислимо суму числового ряду 4n 2 1. Рішення. Графік функції f(x) наведено на рис. 9. Очевидно, f(x) = sin x безперервна парна функція із періодом π. Але 2π також є періодом функції f(x). Мал. 9. Графік функції f(x) Обчислимо коефіцієнти Фур'є. Усі b n = тому, що функція парна. Користуючись тригонометричними формулами, обчислимо an при n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1, якщо n = 2k, = π n 2 1, якщо n = 2k

14 Це обчислення не дозволяє нам знайти коефіцієнт a 1, тому що при n = 1 знаменник перетворюється на нуль. Тому обчислимо коефіцієнт a 1 безпосередньо: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Так як f(x) безперервно диференційована на (,) і (, π) і в точках kπ, (k ціле число), існують кінцеві межі (5) і (6), то ряд Фур'є функції сходиться до неї в кожній точці: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Рис. 1. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S(x) 14

15 Мал. 11. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S1(x) Рис. 12. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S2(x) Рис. 13. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) 15

16 1 Обчислимо суму числового ряду. Для цього 4n 2 1 покладемо (9) x =. Тоді cosnx = 1 для всіх n = 1, 2, ... і Отже, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ПРИКЛАД 4. Доведемо, що якщо шматково-гладка безперервна функція f(x) задовольняє умову f(x π) = f(x) для всіх x (тобто є π-періодичною) , a 2n 1 = b 2n 1 = для всіх n 1, і навпаки, якщо a 2n 1 = b 2n 1 = для всіх n 1, то f(x) π-періодична. Рішення. Нехай функція f(x) є π-періодичною. Обчислимо її коефіцієнти Фур'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) cos (2n 1) xdx. У першому інтегралі зробимо заміну змінної x = t π: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Користуючись тим, що cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t і f(t π) = f(t), отримаємо: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos(2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Аналогічно доводиться, що b 2n 1 =. Навпаки, нехай a 2n 1 = b 2n 1 =. Так як функція f(x) безперервна, то за теоремою про уявність функції в точці своїм рядом Фур'є маємо тоді f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), що означає, що f(x) є π-періодичною функцією. ПРИКЛАД 5. Доведемо, що якщо шматково-гладка функція f(x) задовольняє умові f(x) = f(x) для всіх x, то a = і a 2n = b 2n = для всіх n 1, і навпаки, якщо a = a 2n = b 2n =, то f(x π) = f(x) всім x. Рішення. Нехай функція f(x) задовольняє умову f(xπ) = f(x). Обчислимо її коефіцієнти Фур'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. У першому інтегралі зробимо заміну змінної x = t π. Тоді f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Користуючись тим, що cos n(t π) = (1) n cosnt та f(t π) = f(t), отримаємо: an = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt =, якщо n парне = 2 π f(t) cos nt dt, якщо n непарне. π Аналогічно доводиться, що b 2n =. Навпаки, нехай a = a 2n = b 2n =, для всіх n 1. Так як функція f(x) безперервна, то за теоремою про уявність функція в точці своїм рядом Фур'є справедливо рівність f(x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18

19 Тоді = f(x π) = = = f(x). ПРИКЛАД 6. Вивчимо як слід продовжити інтегровану на проміжку [, π/2] функцію f(x) на проміжок [, π], щоб її ряд Фур'є мав вигляд: a 2n 1 cos(2n 1)x. (1) Рішення. Нехай графік функції має вигляд, наведений на рис. 14. Оскільки в ряді (1) a = a 2n = b 2n = для всіх n, то з прикладу 5 випливає, що функція f(x) повинна задовольняти рівність f(xπ) = f(x) для всіх x. Це спостереження дає спосіб продовження функції f(x) проміжок [, /2] : f(x) = f(x+π), рис. 15. З того, що ряд (1) містить тільки косинуси, укладаємо, що продовжена функція f(x) має бути парною (тобто її графік має бути симетричним щодо осі Oy), рис

20 Мал. 14. Графік функції f(x) Мал. 15. Графік продовження функції f(x) на проміжок [, /2] 2

21 Отже, потрібна функція має вигляд, наведений на рис. 16. Мал. 16. Графік продовження функції f(x) на проміжок [, π] Підсумовуючи, укладаємо, що функцію слід продовжити наступним чином: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), тобто на проміжку [π/2, π], графік функції f(x) центрально симетричний щодо точки (π/2,), а на проміжку [, π] її графік симетричний щодо осі Oy. 21

22 УЗАГАЛЬНІСТЬ ПРИКЛАДІВ 3 6 Нехай l >. Розглянемо дві умови: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x[, l/2]. З геометричної точки зору умова (а) означає, що графік функції f(x) симетричний щодо вертикальної прямої x = l/2, а умова (б) що графік f(x) центрально симетричний щодо точки (l/2;) на осі абсцис. Тоді справедливі такі твердження: 1) якщо функція f(x) парна та виконана умова (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... =; 2) якщо функція f(x) парна та виконана умова (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... =; 3) якщо функція f(x) непарна та виконана умова (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) якщо функція f(x) непарна та виконана умова (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАВДАННЯ У задачах 1 7 намалюйте графіки та знайдіть ряди Фур'є для функцій, ( припускаючи, що вони мають період 2π:, якщо< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, якщо /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Розкладання функції, заданої в проміжку [, π], тільки за синусами або тільки за косинусами Нехай функція f задана в проміжку [, π]. Бажаючи розкласти її в цьому проміжку до ряду Фур'є, ми спочатку продовжимо f у проміжок [, π] довільним чином, а потім скористаємося формулами Ейлера Фур'є. Свавілля у продовженні функції призводить до того, що для однієї й тієї ж функції f: [, π] R ми можемо отримувати різні ряди Фур'є. Але можна використовувати це свавілля так, щоб отримати розкладання тільки за синусами або тільки по косинусах: у першому випадку достатньо продовжити f непарним чином, а по-друге парним. Алгоритм рішення 1. Продовжити функцію непарним (парним) чином (,), а потім періодично з періодом 2π продовжити функцію на всю вісь. 2. Обчислити коефіцієнти Фур'є. 3. Скласти ряд Фур'є функції f(x). 4. Перевірити умови збіжності низки. 5. Вказати функцію, до якої сходитиметься цей ряд. ПРИКЛАД 7. Розкладемо функцію f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Мал. 17. Графік продовженої функції Очевидно, що функція f(x) шматково-гладка. Обчислимо коефіцієнти Фур'є: a n = всім n тому, що функція f (x) непарна. Якщо n 1, то bn = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, якщо n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1) (n 1) 2 2n, якщо n = 2k. π n 2 1 При n = 1 у попередніх обчисленнях знаменник звертається в нуль, тому коефіцієнт b 1 обчислимо безпосеред- 25

26 сно: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Складемо ряд Фур'є функції f(x): f(x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Оскільки функція f (x) шматково-гладка, то за теоремою про крапкову збіжність ряд Фур'є функції f (x) сходить до суми: cosx, якщо π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Мал. 18. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S1(x) Рис. 19. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 2 (x) 27

28 Мал. 2. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S3(x) На рис. 21 наведено графіки функції f (x) та її часткової суми S 99 (x). Мал. 21. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) 28

29 ПРИКЛАД 8. Розкладемо функцію f(x) = e ax, a >, x [, π], до ряду Фур'є тільки по косинусах. Рішення. Продовжимо функцію парним чином (,) (тобто, щоб рівність f(x) = f(x) виконувалося всім x (, π)), та був періодично з періодом 2π протягом усього числову вісь. Отримаємо функцію f(x), графік якої представлений на рис. 22. Функція f (x) у точках Мал. 22. Графік продовженої функції f(x) x = kπ, k ціле число, що має злами. Обчислимо коефіцієнти Фур'є: b n =, оскільки f(x) парна. Інтегруючи частинами отримуємо 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxd a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Отже, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Оскільки f(x) безперервна, то згідно з теоремою про поточну збіжність її ряд Фур'є сходиться до f(x). Отже, всім x [, π] маємо f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Рис демонструють поступове наближення часткових сум ряду Фур'є до заданої функції розриву. 3

31 Мал. 23. Графіки функцій f(x) та S(x) Мал. 24. Графіки функцій f(x) та S1(x) Мал. 25. Графіки функцій f(x) та S2(x) Мал. 26. Графіки функцій f(x) та S 3(x) 31

32 Мал. 27. Графіки функцій f(x) та S4(x) Мал. 28. Графіки функцій f (x) і S 99 (x) ЗАВДАННЯ 9. Розкладіть функцію f(x) = cos x, x π, в ряд Фур'є тільки по косинусах. 1. Розкладіть функцію f(x) = e ax, a >, x π, до ряду Фур'є тільки за синусами. 11. Розкладіть функцію f(x) = x 2, x π, до ряду Фур'є тільки за синусами. 12. Розкладіть функцію f(x) = sin ax, x π, у ряд Фур'є по тільки косинусах. 13. Розкладіть функцію f(x) = x sin x, x π, до ряду Фур'є тільки за синусами. Відповіді 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Якщо a не є цілим числом, sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; якщо a = 2m парне число, то sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; якщо a = 2m 1 позитивне непарне число, то sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Ряд Фур'є функції з довільним періодом Припустимо, що функція f(x) задана в проміжку [l, l], l>. Зробивши підстановку x = ly, y π, отримаємо функцію g(y) = f(ly/π), визначену у проміжку π [, π]. Цій функції g(y) відповідає (формальний) ряд Фур'є () ly f = g(y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), коефіцієнти якого знаходяться за формулами Ейлера Фур'є: an = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 bn = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π Повертаючись до старої змінної, тобто вважаючи у виписаних формулах y = πx/ l, ми отримаємо для функції f(x) тригонометричний ряд дещо зміненого вигляду: де f(x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Кажуть, що формули (11) (13) задають розкладання ряд Фур'є функції з довільним періодом. ПРИКЛАД 9. Знайдемо ряд Фур'є функції, заданої в проміжку (l, l) виразом (A, якщо l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf(x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, якщо n, ll A sin πnx lf(x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Складемо ряд Фур'є функції f(x) : f(x) A + B π (B A Оскільки cosπn = (1) n, то n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l при n = 2k отримуємо b n = b 2k =, при n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(BA) π(2k 1).

36 Звідси f(x) A + B (BA) ? якщо l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Мал. 29. Графік функції f(x) з накладеними на нього графіками гармонік S(x) = a 2 та S 1(x) = b 1 sinx. Для наочності графіки трьох вищих гармонік S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l та S 7 (x) = b 7 sin 7πx зсунуті по вертикалі вгору l 37

38 Мал. 3. Графік функції f(x) із накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) Рис. 31. Фрагмент рис. 3 в іншому масштабі 38

39 ЗАВДАННЯ У задачах розкласти в ряди Фур'є зазначені функції у заданих проміжках. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1, якщо 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f(x) = α 2) l б) f(x) = 4al(1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. а) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... б) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Комплексна форма ряду Фур'є Розкладання f(x) = cne inx, де cn = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., називається комплексною формою ряду Фур'є. Функція розкладається в комплексний ряд Фур'є при виконанні тих же умов, за яких вона розкладається в речовий ряд Фур'є. 4

41 ПРИКЛАД 1. Знайдемо ряд Фур'є у комплексній формі функції, заданої формулою f(x) = e ax, у проміжку [, π), де a речове число. Рішення. Обчислимо коефіцієнти: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Комплексний ряд Фур'є функції f має вигляд f(x) sh aπ n = (1) n a in einx. Переконаємося, що функція f(x) є кусково-гладкою: у проміжку (, π) вона безперервно диференційована, і в точках x = ±π існують кінцеві межі (5), (6) lim h + ea(+h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, ea(+h) ea(+) lim h + h = ae aπ ea(π h) ea(π), lim h + h = ae aπ. Отже, функція f(x) представлена ​​поруч Фур'є sh aπ π n= (1) n a in einx, який сходить до суми: ( e S(x) = ax, якщо π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ПРИКЛАД 11. Знайдемо ряд Фур'є у комплексній та речовій формі функції, заданої формулою f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, де a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Нагадаємо, що сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Тепер знайдемо ряд Фур'є у речовій формі. Для цього згрупуємо доданки з номерами n та n для n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Оскільки c = 1, то 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Це ряд Фур'є у речовинній формі функції f(x). Таким чином, не обчисливши жодного інтеграла, ми знайшли низку Фур'є функції. При цьому ми вирахували важкий інтеграл, що залежить від параметра cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(zz 1) f(x) = 2i (1 a(zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (za)(za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Кожний із простих дробів розкладемо за формулою геометричної прогресії: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n= Це можливо, оскільки az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, або, коротше, c n = 1 2i a n sgnn. Тим самим, ряд Фур'є у комплексній формі знайдено. Згрупувавши доданки з номерами n і n отримаємо ряд Фур'є функції в речовинній формі: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx. Знову нам вдалося вирахувати наступний складний інтеграл: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ЗАВДАННЯ 24. Використовуючи (15), обчисліть інтеграл cos nxdx 1 2a cosx + a 2 для речовинних a, a > Використовуючи (16), обчисліть інтеграл sin x sin nxdx для речовинних a, a > a cosx + a2 У задачах знайдіть ряди Фур'є у комплексній формі для функцій. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Рівність Ляпунова Теорема (рівність Ляпунова). Нехай функція f: [, π] R така, що f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Тому рівність Ляпунова для функції f(x) набуває вигляду: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. З останньої рівності для a π знаходимо sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Вважаючи a = π 2, отримуємо sin2 na = 1 при n = 2k 1 і sin 2 na = при n = 2k. Отже, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ПРИКЛАД 14. Напишемо рівність Ляпунова для функції f(x) = x cosx, x [, π], і знайдемо з його допомогою суму числового ряду (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Рішення. Прямі обчислення дають = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Оскільки f(x) парна функція, то для всіх n маємо bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1)x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 nk π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 якщо n = 2k, 2, якщо n = 2k + 1. Коефіцієнт a 1 необхідно обчислити окремо, оскільки в загальній формулі при n = 1 знаменник дробу звертається в нуль. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Таким чином, рівність Ляпунова для функції f(x) має вигляд: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , звідки знаходимо суму числового ряду (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π ЗАВДАННЯ 32. Напишіть рівність Ляпунова для функції ( xf(x) = 2 πx, якщо x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= cndn, де cn коефіцієнт Фур'є 2π функції f(x), а dn коефіцієнт Фур'є функції g(x). 6. Диференціювання рядів Фур'є Нехай f: R R безперервно диференційована 2π-періодична функція. Її ряд Фур'є має вигляд: f(x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Похідна f(x) цієї функції буде безперервною та 2π-періодичною функцією, для якої можна записати формальний ряд Фур'є: f(x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), де a, an, bn, n = 1 , 2,... коефіцієнти Фур'є функції f(x). 51

52 Теорема (про почленное диференціювання рядів Фур'є). При зроблених припущеннях справедливі рівності a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИКЛАД 15. Нехай шматково-гладка функція f(x) безперервна в проміжку [, π]. Доведемо, що з виконанні умови f(x)dx = має місце нерівність 2 dx 2 dx, зване нерівністю Стеклова, і переконаємося, що рівність у ньому здійснюється лише функцій виду f(x) = A cosx. Іншими словами, нерівність Стеклова дає умови, при виконанні яких з трохи похідної (в середньоквадратичному) слід трохи функції (у середньоквадратичному). Рішення. Продовжимо функцію f(x) на проміжок [,] парним чином. Позначимо продовжену функцію тим самим символом f(x). Тоді продовжена функція буде безперервною та шматково-гладкою на відрізку [, π]. Так як функція f(x) безперервна, то f 2 (x) безперервна на відрізку і 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Оскільки продовжена функція парна, то b n =, a = за умовою. Отже, рівність Ляпунова набуває вигляду 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Переконаємося, що для f(x) виконується висновок теореми про почлене диференціювання ряду Фур'є, тобто a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Нехай похідна f (x) зазнає зламів у точках x 1, x 2,..., x N у проміжку [, π]. Позначимо x = x N+1 = π. Розіб'ємо проміжок інтегрування [, π] на N +1 проміжок (x, x 1),..., (x N, x N+1), кожному з яких f(x) безупинно диференційована. Тоді, використовуючи властивість адитивності інтеграла, а потім інтегруючи частинами, отримаємо: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = x j + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = x j + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x(x) 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Остання рівність має місце через те, що функція f(x) була продовжена парним чином, а значить f(π) = f(). Аналогічно отримаємо an=nbn. Ми показали, що теорема про почленное диференціювання рядів Фур'є для безперервної шматково-гладкої 2π-періодичної функції, похідна якої у проміжку [, π] зазнає розривів першого роду, вірна. Отже f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, оскільки a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, .... Оскільки 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Так як кожен член ряду (18) більше або дорівнює відповідного члена ряду (17), то 2 dx 2 dx. Згадуючи, що f(x) є парним продовженням вихідної функції, маємо 2 dx 2 dx. Що й доводить рівність Стеклова. Тепер досліджуємо яких функцій у нерівності Стеклова має місце рівність. Якщо хоч для одного n 2 коефіцієнт a n відмінний від нуля, то a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАВДАННЯ 37. Нехай шматково-гладка функція f(x) неперервна в проміжку [, π]. Доведіть, що при виконанні умови f() = f(π) = має місце нерівність 2 dx 2 dx, яка також називається нерівністю Стеклова, і переконайтеся, що рівність у ній має місце лише для функцій виду f(x) = B sin x. 38. Нехай функція f безперервна в проміжку [, π] і має в ньому (за винятком хіба що кінцевого числа точок) похідну f (x), що інтегрується з квадратом. Доведіть, що якщо при цьому виконані умови f() = f(π) і f(x) dx =, то має місце нерівність 2 dx 2 dx, яка називається нерівністю Віртингера, причому рівність у ньому має місце лише для функцій виду f(x ) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Застосування рядів Фур'є на вирішення диференціальних рівнянь у приватних похідних При вивченні реального об'єкта (явлення природи, виробничого процесу, системи управління тощо.) істотними виявляються два чинника: рівень накопичених знань про об'єкт, що досліджується, і ступінь розвитку математичного апарату. На етапі наукових досліджень виробився такий ланцюжок: явище фізична модель математична модель. Фізична постановка (модель) завдання полягає в наступному: виявляються умови розвитку процесу та головні фактори, що на нього впливають. Математична постановка (модель) полягає в описі обраних у фізичній постановці факторів та умов у вигляді системи рівнянь (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних та ін.). Завдання називається коректно поставленим, якщо у певному функціональному просторі рішення задачі існує, єдино і безперервно залежить від початкових та граничних умов. Математична модель не буває тотожною об'єкту, що розглядається, а є його наближеним описом. Висновок рівняння вільних малих поперечних коливань струни. Нехай кінці струни закріплені, а сама струна туго напнута. Якщо вивести струну з положення рівноваги (наприклад, відтягнути або вдарити по ній), то струна почне 57

58 вагатися. Припускатимемо, що всі точки струни рухаються перпендикулярно її положенню рівноваги (поперечні коливання), причому в кожний момент часу струна лежить в одній і тій же площині. Візьмемо у цій площині систему прямокутних координат xou. Тоді, якщо в початковий момент часу t = струна розташовувалася вздовж осі Ox, то u означатиме відхилення струни від положення рівноваги, тобто положення точки струни з абсцисою x в довільний момент часу t відповідає значення функції u(x, t). При кожному фіксованому значенні t графік функції u(x, t) представляє форму струни, що коливається, в момент часу t (рис. 32). При постійному значенні x функція u(x, t) дає закон руху точки з абсцисою x уздовж прямої, паралельної осі Ou, похідна t швидкість цього руху, а друга похідна 2 u t 2 прискорення. Мал. 32. Сили, прикладені до нескінченно малої ділянки струни Складемо рівняння, якому має задовольняти функція u(x, t). Для цього зробимо ще кілька припущень, що спрощують. Вважатимемо струну абсолютно ги- 58

59 кой, тобто вважатимемо, що струна не пручається вигину; це означає, що напруги, що виникають у струні, завжди спрямовані по дотичних до її миттєвого профілю. Струна передбачається пружною і підкоряється закону Гука; це означає, що зміна величини сили натягу пропорційно до зміни довжини струни. Приймемо, що однорідна струна; це означає, що її лінійна густина ρ постійна. Зовнішніми силами ми нехтуємо. Це означає, що ми розглядаємо вільні коливання. Ми вивчатимемо лише малі коливання струни. Якщо позначити через ϕ(x, t) кут між віссю абсцис і дотичної до струни в точці з абсцисою x в момент часу t, то умова дещиці коливань полягає в тому, що величиною ϕ 2 (x, t) можна нехтувати порівняно з ϕ (x, t), тобто ϕ 2. Так як кут ϕ малий, то cosϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ і отже, величиною (uxx,) 2 також можна нехтувати. Звідси відразу випливає, що в процесі коливання можемо знехтувати зміною довжини будь-якої ділянки струни. Дійсно, довжина шматочка струни M 1 M 2, що проектується в проміжок осі абсцис, де x 2 = x 1 + x, дорівнює l = x 2 x () 2 u dx x. x Покажемо, що за наших припущень величина сили натягу T буде постійною вздовж усієї струни. Візьмемо для цього якусь ділянку струни M 1 M 2 (рис. 32) в момент часу t і замінимо дію відкинутих участю- 59

60 ків силами натягу T 1 і T 2. Оскільки за умови всі точки струни рухаються паралельно осі Ou і зовнішні сили відсутні, то сума проекцій сил натягу на вісь Ox повинна дорівнювати нулю: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Звідси через малості кутів ϕ 1 = ϕ(x 1, t) і ϕ 2 = ϕ(x 2, t) укладаємо, що T 1 = T 2. Позначимо загальне значення T 1 = T 2 через T. Тепер обчислимо суму проекцій F u цих сил на вісь Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Оскільки для малих кутів sin ϕ(x, t) tg ? T (tg ϕ(x 2, t) tg ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2(x 1, t) x . Оскільки точка x 1 обрана довільно, то F u T 2 u x2(x, t) x. Після того, як знайдено всі сили, що діють на ділянку M 1 M 2, застосуємо до нього другий закон Ньютона, згідно з яким добуток маси на прискорення дорівнює сумі всіх діючих сил. Маса шматочка струни M 1 M 2 дорівнює m = ρ l ρ x, а прискорення дорівнює 2 u(x, t). Рівняння t 2 Ньютона набуває вигляду: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, де α 2 = T ρ постійне позитивне число. 6

61 Скорочуючи на x, отримаємо 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В результаті ми отримали лінійне однорідне диференціальне рівняння з приватними похідними другого порядку з постійними коефіцієнтами. Його називають рівнянням коливань струни чи одновимірним хвильовим рівнянням. Рівняння (21) є переформулюванням закону Ньютона і описує рух струни. Але у фізичній постановці завдання були вимоги про те, що кінці струни закріплені і положення струни в якийсь час відомо. Рівняннями ці умови записуватимемо так: а) вважатимемо, що кінці струни закріплені в точках x = і x = l, тобто вважатимемо, що для всіх t виконані співвідношення u(, t) =, u(l, t ) = ; (22) б) вважатимемо, що у момент часу t = положення струни збігається з графіком функції f(x), тобто вважатимемо, що для всіх x [, l] виконано рівність u(x,) = f( x); (23) в) вважатимемо, що в момент часу t = точці струни з абсцисою x надано швидкість g(x), тобто вважатимемо, що u(x,) = g(x). (24) t Співвідношення (22) називаються граничними умовами, а співвідношення (23) та (24) називаються початковими умовами. Математична модель вільних малих поперечних 61

62 коливань струни полягає в тому, що треба вирішити рівняння (21) з граничними умовами (22) і початковими умовами (23) і (24) Рішення рівняння вільних малих поперечних коливань струни методом Фур'є Розв'язання рівняння (21) в області x l,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Підставляючи (25) (21), отримаємо: X T = α 2 X T, (26) або T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Кажуть, що стався поділ змінних. Так як x і t не залежать один від одного, то ліва частина (27) не залежить від x, а права від t і загальна величина цих відносин 62

63 має бути постійною, яку позначимо через λ: T(t) α 2 T(t) = X(x) X(x) = λ. Звідси отримуємо два звичайні диференціальні рівняння: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При цьому граничні умови (22) набудуть вигляду X()T(t) = і X(l)T(t) =. Оскільки вони мають виконуватися всім t, t >, то X() = X(l) =. (3) Знайдемо рішення рівняння (28), яке б задовольняло граничним умовам (3). Розглянемо три випадки. Випадок 1: >. Позначимо λ = β 2. Рівняння (28) набуває вигляду X (x) β 2 X(x) =. Його характеристичне рівняння k 2 β 2 = має коріння k = ±β. Отже, загальне рішення рівняння (28) має вигляд X(x) = C e βx + De βx. Ми повинні підібрати постійні C і D так, щоб дотримувалися граничних умов (3), тобто X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Оскільки β, ця система рівнянь має єдине рішення C = D =. Отже, X(x) та 63

64 u(x, t). Тим самим, у випадку 1 ми отримали тривіальне рішення, яке далі не розглядатимемо. Випадок 2: λ =. Тоді рівняння (28) набуває вигляду X (x) = і його рішення, очевидно, задається формулою: X(x) = C x+d. Підставляючи це рішення у граничні умови (3), отримаємо X() = D = і X(l) = Cl =, отже, C = D =. Отже, X(x) та u(x, t), і ми знову отримали тривіальне рішення. Випадок 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Надалі надаватимемо n тільки позитивні значення n = 1, 2,..., оскільки при негативних n будуть виходити рішення того (ж виду. nπ) Величини λ n = називаються власними числами, а функції X n (x) = C n sin πnx власними функціями диференціального рівняння (28) з крайовими умовами (3). Тепер розв'яжемо рівняння (29). Для нього характеристичне рівняння має вигляд k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Оскільки вище ми з'ясували, що нетривіальні рішення X(x) рівняння (28) є лише для негативних λ, рівних λ = n2 π 2, то саме такі λ ми і розглядатимемо далі. Коріння рівняння (32) є k = ±iα λ, а рішення рівняння (29) мають вигляд: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l де A n і B n довільні постійні. Підставляючи формули (31) і (33) в (25), знайдемо приватні рішення рівняння (21), що задовольняють крайовим умовам (22): πnx. lll Вносячи множник C n у дужку і вводячи позначення C n A n = bn та B n C n = an, запишемо un (X, T) у вигляді (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx. (34) l l l 65

66 Коливання струни, що відповідають рішенням u n (x, t), називаються власними коливаннями струни. Оскільки рівняння (21) і граничні умови (22) лінійні та однорідні, то лінійна комбінація рішень (34) (u(x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) lll буде рішенням рівняння (21) ), що задовольняє граничним умовам (22) при спеціальному виборі коефіцієнтів an і bn, що забезпечує рівномірну збіжність ряду. Тепер підберемо коефіцієнти an і bn рішення (35) так, щоб воно задовольняло не тільки граничним, а й початковим умовам (23) та (24), де f(x), g(x) задані функції (причому f() = f (l) = g() = g(l) =). Вважаємо, що функції f(x) і g(x) задовольняють умовам розкладання до низки Фур'є. Підставляючи (35) значення t =, отримаємо u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Диференціюючи ряд (35) по t і підставляючи t =, отримаємо u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), а це є розкладання функцій f(x) і g(x) до лав Фур'є. Отже, a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Підставляючи вирази для коефіцієнтів a n і b n до ряду (35), ми отримаємо рішення рівняння (21), що задовольняє граничним умовам (22) та початковим умовам (23) і (24). Тим самим ми вирішили завдання про вільні малі поперечні коливання струни. З'ясуємо фізичний зміст власних функцій u n (x, t) задачі про вільні коливання струни, визначені формулою (34). Перепишемо її у вигляді де n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n З формули (37) видно, що всі точки струни здійснюють гармонійні коливання з однією і тією ж частотою ω n = πnα і фазою πnα δ n. Амплітуда коливання залежить від l l абсциси x точки струни і дорівнює α n sin πnx. При такому коливанні всі точки струни одночасно досягають свого максимального відхилення в ту чи іншу сторону і одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання називають стоячими хвилями. Стояча хвиля матиме n + 1 нерухому точку, що задається корінням рівняння sin πnx = у проміжку [, l]. Нерухомі точки називаються вузлами стоячої хвилі. Посередині між вузлами розташовуються точки, в яких відхилення досягають максимуму; такі точки називаються пучностями. Кожна струна може мати власні коливання строго певних частот n = πnα, n = 1, 2, .... Ці частоти називаються власними частотами струни. Найнижчий l тон, який може видавати струна, визначається 67

68 низькою власною частотою 1 = π T і називається основним тоном струни. Інші тони, що відповідають l ρ частотам n, n = 2, 3,..., називаються обертонами або гармоніками. Для наочності зобразимо типові профілі струни, що видає основний тон (рис. 33), перший обертон (рис. 34) та другий обертон (рис. 35). Мал. 33. Профіль струни, що видає основний тон Мал. 34. Профіль струни, що видає перший обертон. 35. Профіль струни, що видає другий обертон Якщо струна здійснює вільні коливання, що визначаються початковими умовами, функція u(x, t) представляється, як це видно з формули (35), у вигляді суми окремих гармонік. Таким чином довільне коливання 68

69 струни є суперпозицією стоячих хвиль. При цьому характер звучання струни (тон, сила звуку, тембр) залежатиме від співвідношення між амплітудами окремих гармонік. Сила, висота і тембр звуку. Сила звуку характеризується енергією чи амплітудою коливань: що більше енергія, то більше вписувалося сила звуку. Висота звуку визначається його частотою чи періодом коливань: що більше частота, то вище звук. Тембр звуку визначається наявністю обертонів, розподілом енергії за гармоніками, тобто способом збудження коливань. Амплітуди обертонів, взагалі кажучи, менші за амплітуду основного тону, а фази обертонів можуть бути довільними. Наше вухо не чутливе до фази коливань. Порівняйте, наприклад, дві криві на рис. 36, запозиченому з . Це запис звуку з тим самим основним тоном, витягнутого з кларнету (а) і рояля (б). Обидва звуки не є простими синусоїдальними коливаннями. Основна частота звуку в обох випадках однакова і створює однаковість тону. Але малюнки кривих різні тому, що на основний тон накладені різні обертони. В певному сенсі ці малюнки показують, що таке тембр. 69

Рівняння гіперболічного типу. Коливання нескінченної та напівнескінченної струни. Метод Фур'є Метод Фур'є Стоячі хвилі 4 Лекція 4.1. Рівняння гіперболічного типу. Коливання нескінченної та напівнескінченної

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЦИВІЛЬНОЇ АВІАЦІЇ В.М. Любимов, Є.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шурінов М А Т Е М А Т І К А Р А Д И ПОСІБНИК з вивчення дисципліни та контрольні завдання

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти МАТИ Російський державний технологічний університет імені К. Е. Ціолковського

Міністерство освіти Республіки Білорусь УО «Вітебський державний технологічний університет» Тема. «Ряди» Кафедра теоретичної та прикладної математики. розроблено доц. Є.Б. Дуніною. Основні

Федеральна агенція з освіти Федеральна державна освітня установа вищої професійної освіти ПІВДЕННИЙ ФЕДЕРАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецька Методичні

Тема Ряди Фур'є Практичне заняття Ряди Фур'є за ортогональними системами функцій Простір шматково-безперервних функцій Узагальнений ряд Фур'є 3 Нерівність Безселя та збіжність ряду Фур'є Простір

ТЕОРІЯ РЯДІВ Теорія рядів є найважливішою складовою математичного аналізу і знаходить як теоретичні, і численні практичні докладання. Розрізняють ряди числові та функціональні.

ЗМІСТ РЯДИ ФУР'Є 4 Поняття про періодичну функцію 4 Тригонометричний поліном 6 3 Ортогональні системи функцій 4 Тригонометричний ряд Фур'є 3 5 Ряд Фур'є для парних і непарних функцій 6 6 Розкладання

Федеральне агентство з освіти Московський Державний університет геодезії та картографії (МІІГАїК) МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ за курсом

Лекція 4. Гармонійний аналіз. Ряди Фур'є Періодичні функції. Гармонічний аналіз У науці та техніці часто доводиться мати справу з періодичними явищами, тобто такими, що повторюються через

ТЕМА V РЯД ФУР'Є ЛЕКЦІЯ 6 Розкладання періодичної функції в ряд Фур'є Багато процесів, що відбуваються в природі і техніці, мають властивості повторюватися через певні проміжки часу Такі процеси

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗРАХУНКОВИХ ЗАВДАНЬ ПО КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ «ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ РЯДИ Подвійні ІНТЕГРАЛИ» ЧАСТИНА Ш ТЕМА РЯДИ

6 Ряди Фур'є 6 Ортогональні системи функцій Ряд Фур'є по ортогональній системі функцій Функції ϕ () і ψ (), визначені та інтегровані на відрізку [, ], називаються ортогональними на цьому відрізку, якщо

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Інтегральні суми та певний інтеграл Нехай дана функція y = f(), визначена на відрізку [, b], де< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Ступінні ряди 5 Ступінні ряди: визначення, область збіжності Функціональний ряд виду (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) де, a, a, K, a,k деякі числа, називають статечним рядом Числа

БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ІНФОРМАТИКИ Кафедра вищої математики Навчально-методичний посібник для студентів факультету прикладної математики та інформатики

Розглянемо деякі приклади. приклад. Знайдемо суму нескінченної геометричної прогресії Формула загального члена цього ряду a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Обчислимо його часткові суми. Якщо q =, то

Завдання 1.1. Знайти у вказаній області відмінні від тотожного нуля рішення y = y(x) диференціального рівняння, що задовольняють заданим крайовим умовам (завдання Штурма-Ліувіля) Розв'язання

Математичний аналіз Тема: Певний інтеграл Невласні інтеграли Лектор Пахомова Є.Г. 2017 р. РОЗДІЛ II. Певний інтеграл та його додатки 1. Певний інтеграл та його властивості 1. Завдання,

Лекція 8 4 Завдання Штурма-Ліувіля Розглянемо початково-крайову задачу для диференціального рівняння в приватних похідних другого порядку, що описує малі поперечні коливання струни Струна розглядається

Пояснення до тексту: знак читається як "рівносильно" і позначає, що у рівнянь праворуч від знака і зліва від знака безліч рішень збігається, знак IR позначає безліч речових чисел, знак IN

82 4. Розділ 4. Функціональні та статечні ряди 4.2. Заняття 3 4.2. Заняття 3 4.2.. Розкладання функції в ряд Тейлора ВИЗНАЧЕННЯ 4.2.. Нехай функція y = f(x) нескінченно диференційована в околиці

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «САМАРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

Федеральне агентство залізничного транспорту Уральський державний університет шляхів сполучення Кафедра «Вища та прикладна математика» Н. П. Чуєв Елементи гармонійного аналізу

Лекція 3 Ряди Тейлора і Маклорена Застосування статечних рядів Розкладання функцій у статечні ряди Ряди Тейлора і Маклорена Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати в степеневий ряд, ті функцію

С А Лавренченко wwwwrckoru Лекція Перетворення Фур'є Поняття інтегрального перетворення Метод інтегральних перетворень один із потужних методів математичної фізики є потужним засобом вирішення

Інтегрованість функції (за Ріманом) та певний інтеграл Приклади розв'язання задач 1. Постійна функція f(x) = C інтегрована на , так як для будь-яких розбиття та будь-якого вибору точок ξ i інтегральні

І курс, завдання. Доведіть, що функція Рімана, якщо 0, m m R(), якщо m, m 0 і дріб нескоротний, 0, якщо ірраціонально, розривна в кожній раціональній точці і безперервна в кожній ірраціональній. Рішення.

1 2 Зміст 1 Ряди Фур'є 5 1.1 Тригонометричний ряд Фур'є............ 5 1.2 Тільки sin & cos..................... 7 1.3 Ряд Фур'є в комплексній формі 11 1.4 f(x) = ck?.......................

РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ 1. Диференціальні рівняння з приватними похідними.

Лекція 4. Хвильові рівняння 1. Виведення рівняння коливань струни 2. Рівняння поздовжніх коливань стрижня 3. Початкові умови, крайові умови 4. Постановка задач 1. Висновок рівняння коливань струни

1. Електростатика 1 1. Електростатика Урок 6 Розділення змінних у декартових координатах 1.1. (Завдання 1.49) Площина z = заряджена із щільністю σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), де σ, α, β постійні.

Модуль Тема Функціональні послідовності та ряди Властивості рівномірної збіжності послідовностей та рядів Ступінні ряди Лекція Визначення функціональних послідовностей та рядів Рівномірно

Рівняння параболічного типу. Метод поділу змінних Однорідне крайове завдання Функція джерела Неоднорідне рівняння теплопровідності 7 Лекція 7.1 Рівняння параболічного типу. Метод поділу

Лекція Числові ряди Ознаки збіжності Числові ряди Ознаки збіжності Нескінченний вираз числової послідовності + + + +, складений з членів нескінченної, називається числовим рядом Числа,

35 7 Тригонометричні ряди Фур'є Ряди Фур'є для періодичних функцій з періодом T. Нехай f(x) - шматково - безперервна періодична функція з періодом T. Розглянемо основну тригонометричну систему

Металургійний факультет Кафедра вищої математики РЯДИ Методичні вказівки Новокузнецьк 5 Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти

Кафедра математики та інформатики Елементи вищої математики Навчально-методичний комплекс для студентів СПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль Диференціальне обчислення Упорядник:

9. Первісна та невизначений інтеграл 9.. Нехай на проміжку I R задана функція f(). Функцію F() називають первісної функції f() на проміжку I, якщо F() = f() для будь-якого I, та первісної

ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЙ ЗМІННОЇ Поняття похідної, її геометричний і фізичний сенс Завдання, що призводять до поняття похідної Визначення Стосової S до лінії y f (x) у точці A x ; f (

Рівняння гіперболічного типу. Коливання нескінченної та напівнескінченної струни. Метод Даламбера Нескінченна струна. Формула Даламбера Напівнескінченна струна 3 Лекція 3.1. Рівняння гіперболічного типу.

Зміст Вступ. Основні поняття.... 4 1. Інтегральні рівняння Вольтерри... 5 Варіанти домашніх завдань.... 8 2. Резольвента інтегрального рівняння Вольтерри. 10 Варіанти домашніх завдань.... 11

РЯДИ. Числові ряди. Основні визначення Нехай дано нескінченну послідовність чисел Вираз (нескінченна сума) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= називається числовим рядом. Числа

8. Ступінні ряди 8.. Функціональний ряд виду c n (z) n, (8.) n= де c n числова послідовність, R фіксоване число, а z R називають статечним рядом з коефіцієнтами c n. Виконавши заміну змінних

~ ~ Невизначений і певний інтеграли Поняття первісної та невизначеного інтеграла. Визначення: Функція F називається першорядною по відношенню до функції f, якщо ці функції пов'язані наступним

3724 РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ 1 РОБОЧА ПРОГРАМА РОЗДІЛІВ «РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ» 11 Числові ряди Поняття числового ряду Властивості числових

Є.М. РУДИЙ МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ. ЧИСЛОВІ І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ НОВОСИБИРСЬК 200 2 МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ГОУ ВПО «НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» О.М. Рудий МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ.

ЛЕКЦІЯ N 7. Ступінні ряди і ряди Тейлора..Степінні ряди..... Ряд Тейлора.... 4.Розкладання деяких елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена.... .Ступіньні

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ Зміст КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ... 4. та дослідження квадратних рівнянь... 4.. Квадратне рівняння з числовими коефіцієнтами... 4.. Вирішити та дослідити квадратні рівняння щодо

РОЗДІЛ ЗАВДАННЯ З ПАРАМЕТРАМИ Коментар Завдання з параметрами традиційно є складними завданнями у структурі ЄДІ, що вимагають від абітурієнта не лише володіння всіма методами та прийомами рішення різних

Диференціальне обчислення Введення в математичний аналіз Межа послідовності та функції. Розкриття невизначеностей у межах. Похідна функції. Правила диференціювання. Застосування похідної

Ряди Фур'є Ортогональні системи функцій З точки зору алгебри рівність де - функції даного класу а - коефіцієнти з R або C просто означає, що вектор є лінійною комбінацією векторів

1. Певний інтеграл 1.1. Нехай f обмежена функція, задана на відрізку [, b] R. Розбиттям відрізка [, b] називають такий набір точок τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b], що = x< x 1 < < x n 1

Гл Ступінні ряди a a a Ряд виду a a a a a () називається статечним, де, a, постійні, звані коефіцієнтами ряду Іноді розглядають статечний ряд більш загального виду: a(a) a(a) a(a) (), де

Розкладання в ряд Фур'є парних і непарних функцій розкладання функції заданої на відрізку в ряд за синусами або по косинусах Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Парсеваля Замкнуті системи Повнота та замкнутість систем

Розкладання ряд Фур'є парних і непарних функцій Функція f(x), визначена на відрізку \-1, де I > 0, називається парною, якщо Графік парної функції симетричний щодо осі ординат. Функція f(x), визначена на відрізку J), де I > 0, називається непарною, якщо Графік непарної функції симетричний щодо початку координат. приклад. а) Функція є парною на відрізку |-jt, jt), тому що для всіх х е б) Функція є непарною, тому що Розкладання в ряд Фур'є парних і непарних функцій розкладання функції заданої на відрізку в ряд за синусами або косинусами Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Комплексний запис ряду Фур'є Ряди Фур'є за загальним ортогональним системам функцій Ряд Фур'є по ортогональній системі Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур'є Нерівність Безселя Рівність Парсеваля Замкнуті системи Повнота і замкнутість систем в) Функція f(x) де ні до парних, ні до непарних функцій, оскільки Нехай функція f(x), яка задовольняє умов теореми 1, є парною на відрізку х|. Тоді всім тобто. /(ж) cos nx є парною функцією, a f(x) sinnx - непарною. Тому коефіцієнти Фур'є парної функції /(ж) дорівнюють Отже, ряд Фур'є парної функції має вигляд 00 Якщо f(x) - непарна функція на відрізку [-тг, ir|, то добуток f(x)cosnx буде непарною функцією, а добуток f(x) sin пх - парною функцією. Таким чином, ряд Фур'є непарної функції має вигляд Приклад 1. Розкласти в ряд Фур'є на відрізку -х^х^п функцію 4 Так як ця функція парна і задовольняє умовам теореми 1, то її ряд Фур'є має вигляд Знаходимо коефіцієнти Фур'є. Маємо Двічі інтегрування по частинах, отримаємо, що Значить, ряд Фур'є даної функції виглядає так: або, в розгорнутому вигляді, Ця рівність справедлива для будь-якого х € , так як в точках х = ±ir сума ряду збігається зі значеннями функції f(x ) = х2, оскільки Графіки функції f(x) = х та суми отриманого ряду дано на рис. Зауваження. Цей ряд Фур'є дозволяє знайти суму одного з числових рядів, що сходяться, а саме, при х = 0 отримуємо, що Приклад 2. Розкласти в ряд Фур'є на інтервалі функцію /(х) = х. Функція /(х) задовольняє умовам теореми 1, отже її можна розкласти в ряд Фур'є, який через непарність цієї функції матиме вигляд Інтегруючи вроздріб, знаходимо коефіцієнти Фур'є Отже, ряд Фур'є даної функції має вигляд Ця рівність має місце для всіх х точках х - ±тг сума ряду Фур'є не збігається зі значеннями функції /(х) = х, оскільки вона дорівнює поза відрізком [-*, я-] сума ряду є періодичним продовженням функції /(х) = х; її графік зображено на рис. 6. § 6. Розкладання функції, заданої на відрізку, в ряд за синусами або косинусами Нехай обмежена кусково-монотонна функція / задана на відрізку . Значення цієї функції на відрізку 0 | можна визначити різним чином. Наприклад, можна визначити функцію / на відрізку тс] так, щоб /. У цьому випадку говорять, що) «продовжена на відрізок 0] парним чином»; її ряд Фур'є міститиме лише косинуси. Якщо ж функцію /(ж) визначити на відрізку [-л-, тс] так, щоб /(, то вийде непарна функція, і тоді кажуть, що / "продовжена на відрізок [-*, 0] непарним чином"; У разі се ряд Фур'є буде містити тільки синуси.Отже, кожну обмежену кусково-монотонну функцію /(ж), визначену на відрізку , можна розкласти в ряд Фур'є і по синусах, і по косинусах.Приклад 1. Функцію розкласти в ряд Фур'є: а) по косинусах; б) за синусами. М Дана функція при її парному та непарному продовженнях у відрізок |-х,0) буде обмеженою та шматково-монотонною. а) Продовжимо /(z) у відрізок 0) а) Продовжимо j\x) у відрізок (-тг,0| парним чином (рис. 7), тоді її ряд Фур'є i матиме вигляд П=1 де коефіцієнти Фур'є рівні відповідно Отже, б) Продовжимо /(z) у відрізок [-x,0] непарним чином (рис. 8). Тоді її ряд Фур'є §7. Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Нехай функція fix) є періодичною з періодом 21,1 ^ 0. Для розкладання її в ряд Фур'є на відрізку де I > 0 зробимо заміну змінної, поклавши х = jt. Тоді функція F(t) = / ^tj буде періодичною функцією аргументу t з періодом і її можна розкласти на відрізку до ряду Фур'є. , Залишаються в силі і для періодичних функцій з довільним періодом 21. Зокрема, зберігає свою силу і достатню ознаку розкладання функції в ряд Фур'є. Приклад 1. Розкласти ряд Фур'є періодичну функцію з періодом 21, задану на відрізку [-/,/] формулою (рис.9). Так як дана функція парна, то її ряд Фур'є має вигляд Підставляючи ряд Фур'є знайдені значення коефіцієнтів Фур'є, отримаємо Відзначимо одну важливу властивість періодичних функцій. Теорема 5. Якщо функція має період Т і інтегрована, то будь-якого числа а виконується рівність m. е. інтеграл no відрізку, довжина якого дорівнює періоду Т, має те саме значення незалежно від положення цього відрізка на числовій осі. Справді, Робимо заміну змінної у другому інтегралі, вважаючи. Це дає і отже, геометрично ця властивість означає, що у випадку площі заштрихованих на рис. 10 областей рівні між собою. Зокрема, для функції f(x) з періодом отримаємо при розкладання ряду Фур'є парних парних і непарних функцій розкладання функції заданої на відрізку в ряд за синусами або по косинусах Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Комплексний запис ряду Фур'є Ряди Фур'є функцій Ряд Фур'є по ортогональній системі Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур'є Нерівність Бесселя Рівність Парсеваля Замкнуті системи Повнота і замкнутість систем Приклад 2. Функція x є періодичною з періодом В силу непарності даної функції без обчислення інтегралів можна стверджувати, що при будь-якому Доведена властивість, зокрема , Що коефіцієнти Фур'є періодичної функції f(x) з періодом 21 можна обчислювати за формулами де а - довільне дійсне число (зазначимо, що функції cos - і sin мають період 2/). Приклад 3. Розкласти ряд Фур'є задану на інтервалі функцію з періодом 2х (рис. 11). 4 Знайдемо коефіцієнти Фур'є цієї функції. Отже, ряд Фур'є буде виглядати так: У точці х = jt (точка розриву першого роду) маємо §8. Комплексний запис ряду Фур'є У цьому параграфі використовуються деякі елементи комплексного аналізу (див. розділ XXX, де всі дії, що тут проводяться з комплексними виразами, суворо обґрунтовані). Нехай функція f(x) задовольняє достатні умови розкладності в ряд Фур'є. Тоді на відрізку ж] її можна уявити поруч виду Використовуючи формули Ейлера Підставляючи ці вирази в ряд (1) замість cos пх і sin пху будемо мати Введемо наступні позначення Тоді ряд (2) набуде вигляду Таким чином, ряд Фур'є (1) представлений у комплексній формі (3). Знайдемо вирази коефіцієнтів через інтеграли. Аналогічно знаходимо остаточно формули для с„, с_п і со можна записати так: . . Коефіцієнти з„ називаються комплексними коефіцієнтами Фур'є функції Для періодичної функції з періодом) комплексна форма ряду Фур'є набуде вигляду де коефіцієнти Сп обчислюються за формулами значення ж, якщо є межі Приклад. Розкласти в комплексний ряд Фур'є функцію періоду. Дана функція задовольняє достатнім умовам розкладності в ряд Фур'є. Нехай Знайдемо комплексні коефіцієнти Фур'є цієї функції. Маємо для непарних для парних n, або, коротше. Підставляючи значення), отримаємо остаточно Зауважимо, що цей ряд можна записати і так: Ряди Фур'є за загальним ортогональним системам функцій 9.1. Ортогональні системи функцій Позначимо через безліч всіх (дійсних) функцій, визначених та інтегрованих на відрізку [а, 6] з квадратом, тобто таких, для яких існує інтеграл. Зокрема, всі функції f(x), безперервні на відрізку [а , 6], належать 6], і значення їх інтегралів Лебега збігаються зі значеннями інтегралів Рімана. Визначення. Система функцій, де, називається ортогональною на відрізку [а, Ь\, якщо Умова (1) передбачає, зокрема, що жодна з функцій не дорівнює тотожному нулю. Інтеграл розуміється у сенсі Лебега. і назвемо величину нормою функції Якщо в ортогональній системі для всякого маємо, то система функцій називається ортонормованою. Якщо система (у>„(ж)) ортогональна, то система Приклад 1. Тригонометрична система ортогональна на відрізку. Система функцій є ортонормованою системою функцій, Приклад 2. Косинус-система і синус-система ортонормована. Введемо позначення є ортогональними на відрізку (0, f|, але не ортонормованими (при I Ф-2). так як їх норми COS Приклад 3. Багаточлени, що визначаються рівністю, називаються багаточленами (поліномами) Лежандра. При п = 0 маємо Можна довести , що функції утворюють ортонормовану систему функцій на відрізку.Покажемо, наприклад, ортогональність поліномів Лежандра.Нехай т > п. У цьому випадку, інтегруючи п раз по частинах, знаходимо оскільки для функції t/m = (z2 - I)m всі похідні до порядку m - I включно перетворюються на нуль на кінцях відрізка [-1,1). Визначення. Система функцій (pn(x)) називається ортогональною на інтервалі (а, Ь) звисом р(х), якщо: 1) для всіх п = 1,2,... існують інтеграли Тут передбачається, що вагова функція р(х) визначено і позитивно всюди на інтервалі (а, Ь) за можливим винятком кінцевого числа точок, де р(х) може звертатися в нуль. Виконавши диференціювання у формулі (3), знаходимо. Можна показати, що багаточлени Чебишева-Ерміта ортогональні на інтервалі Приклад 4. Система функцій Бесселя (jL(pix)^ ортогональна на інтервалі нулі функції Бесселя Приклад 5. Розглянемо багаточлени Чебишева-Ерміта, які можуть бути визначені за допомогою рівності. Ряд Фурн системі Нехай ортогональна система функцій в інтервалі (a, 6) і нехай ряд (cj = const) сходиться на цьому інтервалі до функції f(x): Помножуючи обидві частини останньої рівності на - фіксовано) та інтегруючи по ж від а до 6, в силу ортогональності системи отримаємо, що ця операція має, власне кажучи, суто формальний характер. Тим не менш, у деяких випадках, наприклад, коли ряд (4) сходиться рівномірно, всі функції безперервні та інтервал (a, 6) кінцевий, ця операція є законною. Але для нас зараз важливе саме формальне трактування. Отже, нехай задано функцію. Утворимо числа с* за формулою (5) і напишемо Ряд, що стоїть у правій частині, називається рядом Фур'є функції f(x) щодо системи (^п(я))- Числа Сп називаються коефіцієнтами Фур'є функції f(x) за цією системою. Знак ~ у формулі (6) означає лише, що числа Сп пов'язані з функцією /(ж) формулою (5) (при цьому не передбачається, що ряд справа взагалі сходиться, а тим більше сходиться до функції f(x)). Тому, природно виникає питання: які властивості цього ряду? У якому значенні він «представляє» функцію f(x)? 9.3. Збіжність у середньому Визначення. Послідовність, сходиться до елементу ] у середньому, якщо норма у просторі Теорема 6. Якщо послідовність ) сходиться рівномірно, вона сходиться й у середньому. М Нехай послідовність () сходить рівномірно на відрізку [а, Ь] до функції /(х). Це означає, що для кожного при всіх досить великих маємо Отже, звідки випливає наше твердження. Зворотне твердження неправильне: послідовність () може сходитися в середньому до /(х), але не бути рівномірно схожим. приклад. Розглянемо послідовність пх Легко бачити, що Але ця збіжність не рівномірна: існує е, наприклад, таке, що хоч би великим не було л, на відрізку , Розкладання ряд Фур'є парних і непарних функцій розкладання функції заданої на відрізку в ряд синусами або по косинусам Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Комплексний запис ряду Фур'є Ряди Фур'є за загальним ортогональним системам функцій Ряд Фур'є за ортогональною системою Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур'є Нерівність Безселя Рівність Парсєва Замкнуті системи Повнота і замкнутість систем ) за ортонормованою системою Розглянемо лінійну комбінацію де n ^ 1 - фіксоване ціле число, і знайдемо значення постійних, при яких інтеграл набуває мінімального значення. Запишемо його докладніше Інтефуючи почленно, в силу ортонормованості системи отримаємо Перші два доданки у правій частині рівності (7) не залежать, а третій доданок невід'ємний. Тому інтеграл (*) набуває мінімального значення при ак = ск Інтеграл називають середнім квадратичним наближенням функції / (х) лінійною комбінацією Тп (х). Таким чином, середнє квадратичне наближення функції/ приймає мінімальне значення, коли. коли Тп(х) є 71-а часткова сума ряду Фур'є функції /(х) за системою (. Вважаючи ак = ск, з (7) отримуємо Рівність (9) називається тотожністю Бесселя. Так як його ліва частина невід'ємна, то з нього слідує нерівність Бесселя Оскільки я тут довільно, то нерівність Бесселя можна у посиленій формі т. е. для будь-якої функції / ряд із квадратів коефіцієнтів Фур'є цієї функції по ортонормованій системі ) сходиться. Так як система ортонормована на відрізку [-х, тг], то нерівність (10) у перекладі на звичний запис тригонометричного ряду Фур'є дає співвідношення do справедливе для будь-якої функції /(х) з квадратом, що інтегрується. Якщо f2(x) інтегрована, то через необхідну умову збіжності ряду в лівій частині нерівності (11) отримуємо, що. Рівність Парсе валя Для деяких систем (^„(х)) знак нерівності у формулі (10) може бути замінений (для всіх функцій /(х) 6 год) знаком рівності. Отримана рівність називається рівністю Парсеваля-Стеклова (умовою повноти). Тотожність Бесселя (9) дозволяє записати умова (12) у рівносильної формі Тим самим виконання умови повноти означає, що часткові суми Sn(x) низки Фур'є функції /(х) сходяться до функції /(х) у середньому, тобто. за нормою простору 6]. Визначення. Ортонормована система (називається повної в Ь2[ау Ь], якщо будь-яку функцію можна з будь-якою точністю наблизити в середньому лінійною комбінацією виду з досить великим числом доданків, тобто якщо для будь-якої функції/(х) € Ь2[а, Ь\ і для будь-якого е > 0 знайдеться натуральне число nq і числа а\, а2у..., такі, що No З наведених міркувань випливає Теорема 7. Якщо ортонормуванням система ) повна в просторі ряд Фур'є всякої функції / за цією системою сходить до f( x) в середньому, тобто за нормою Можна показати, що тригонометрична система сповнена простором, Звідси випливає твердження. Теорема 8. Якщо функція про її тригонометричний ряд Фур'є сходиться до неї в середньому. 9.5. Замкнуті системи. Повнота та замкнутість систем Визначення. Ортонормована система функцій \, називається замкнутої, якщо в просторі Li \ a, Ь) не існує відмінної від нуля функції, ортогональної до всіх функцій У просторі L2 \ a, Ь \ поняття повноти і замкнутості ортонормованих систем збігаються. Вправи 1. Розкладіть у ряд Фур'є в інтервалі (-я-, ж) функцію 2. Розкладіть у ряд Фур'є в інтервалі (-тг, тг) функцію 3. Розкладіть у ряд Фур'є в інтервалі (-тг, тг) функцію 4. Розкладіть ряд Фур'є в інтервалі (-jt, тг) функцію 5. Розкладіть ряд Фур'є в інтервалі (-тг, тг) функцію f(x) = ж + х. 6. Розкладіть до ряду Фур'є в інтервалі (-jt, тг) функцію п 7. Розкладіть до ряду Фур'є в інтервалі (-тг, ж) функцію /(х) = sin2 х. 8. Розкладіть до ряду Фур'є в інтервалі (-тг, jt) функцію f(x) = у 9. Розкладіть до ряду Фур'є в інтервалі (-тт, -к) функцію /(х) = | sin х |. 10. Розкладіть ряд Фур'є в інтервалі (-я-, тг) функцію /(х) = §. 11. Розкладіть до ряду Фур'є в інтервалі (-тг, тг) функцію f(x) = sin §. 12. Розкладіть у ряд Фур'є функцію f(x) = п -2х, задану в інтервалі (0, х), продовживши її в інтервал (-х, 0): а) парним чином; б) непарним чином. 13. Розкладіть у ряд Фур'є за синусами функцію /(х) = х2, задану в інтервалі (0, х). 14. Розкладіть у ряд Фур'є функцію /(х) = 3-х, задану в інтервалі (-2,2). 15. Розкладіть до ряду Фур'є функцію f(x) = |х|, задану в інтервалі (-1,1). 16. Розкладіть у ряд Фур'є за синусами функцію f(x) = 2х, задану в інтервалі (0,1).